Radical membership testing, and the special case of Hilbert's Nullstellensatz (HN), is a fundamental computational algebra problem. It is NP-hard; and has a famous PSPACE algorithm due to effective Nullstellensatz bounds. We identify a useful case of these problems where practical algorithms, and improved bounds, could be given, when the transcendence degree $r$ of the input polynomials is smaller than the number of variables $n$. If $d$ is the degree bound on the input polynomials, then we solve radical membership (even if input polynomials are blackboxes) in around $d^r$ time. The prior best was $> d^n$ time (always, $d^n\ge d^r$). Also, we significantly improve effective Nullstellensatz degree-bound, when $r\ll n$. Structurally, our proof shows that these problems reduce to the case of $r+1$ polynomials of transcendence degree $\ge r$. This input instance (corresponding to none or a unique annihilator) is at the core of HN's hardness. Our proof methods invoke basic algebraic-geometry.

中文翻译：

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Blackbox Radical Membership、Nullstellensatz 和超越度的特例算法

激进成员测试以及 Hilbert 的 Nullstellensatz (HN) 的特例是一个基本的计算代数问题。它是 NP 难的；并且由于有效的 Nullstellensatz 边界而拥有著名的 PSPACE 算法。我们确定了这些问题的一个有用案例，当输入多项式的超越度 $r$ 小于变量 $n$ 的数量时，可以给出实用算法和改进的边界。如果 $d$ 是输入多项式的度界，那么我们在 $d^r$ 左右的时间内求解激进成员（即使输入多项式是黑盒）。之前最好的是 $> d^n$ 时间（总是 $d^n\ge d^r$）。此外，当 $r\ll n$ 时，我们显着提高了有效的 Nullstellensatz 度限。在结构上，我们的证明表明这些问题归结为超越度 $\ge r$ 的 $r+1$ 多项式的情况。这个输入实例（对应于 none 或一个唯一的歼灭者）是 HN 硬度的核心。我们的证明方法调用了基本的代数几何。