We initiate a study of distortion elements in the Polish groups ${\mathrm{Diff}}_{+}^k({\mathbb{S}}^1)$ ( $1⩽k<\infty$), as well as ${\mathrm{Diff}}_{+}^{1+AC}({\mathbb{S}}^1)$, in terms of maximal metrics on these groups. We classify distortion in the $k=1$ case: a $C^1$ circle diffeomorphism is $C^1$‐undistorted if and only if it has a hyperbolic periodic point. On the other hand, answering a question of Navas, we exhibit analytic circle diffeomorphisms with only nonhyperbolic fixed points which are $C^{1+AC}$‐undistorted, and hence $C^k$‐undistorted for all $k⩾2$. In the Appendix, we exhibit a maximal metric on ${\mathrm{Diff}}_{+}^{1+AC}({\mathbb{S}}^1)$, and observe that this group is quasi‐isometric to a hyperplane of $L^1(I)$.

中文翻译：

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圆伪同态的最大伪度量与变形

我们开始研究波兰人群中的畸变元素 ${\mathrm{差异}}_{+}^{ķ}（{\mathbb{小号}}^{\mathrm{1个}}）$ （ $\mathrm{1个}⩽ķ<\infty$）， 以及 ${\mathrm{差异}}_{+}^{\mathrm{1个}+\mathrm{一种}C}（{\mathbb{小号}}^{\mathrm{1个}}）$，就这些组的最大指标而言。我们将失真分类为$ķ=\mathrm{1个}$ 案例： $C^{\mathrm{1个}}$ 圆微分态是 $C^{\mathrm{1个}}$-仅当具有双曲周期点时才取消。另一方面，在回答Navas问题时，我们表现出解析圆微分同构仅具有非双曲不动点，即$C^{\mathrm{1个}+\mathrm{一种}C}$-没有扭曲，因此 $C^{ķ}$为所有人提供 $ķ⩾2$。在附录中，我们展示了关于${\mathrm{差异}}_{+}^{\mathrm{1个}+\mathrm{一种}C}（{\mathbb{小号}}^{\mathrm{1个}}）$，并观察到该组与的超平面准等距 ${\mathrm{大号}}^{\mathrm{1个}}（\mathrm{一世}）$。