Abstract Rudelson's theorem states that if for a set of unit vectors u i and positive weights c i , we have that ∑ c i u i ⊗ u i is the identity operator I on R d , then the sum of a random sample of C d ln ⁡ d of these diadic products is close to I. The ln ⁡ d term cannot be removed. On the other hand, the recent fundamental result of Batson, Spielman and Srivastava and its improvement by Marcus, Spielman and Srivastava show that the ln ⁡ d term can be removed, if one wants to show the existence of a good approximation of I as the average of a few diadic products. It is known that essentially the same proof as Rudelson's yields a more general statement about the average of positive semi-definite matrices. First, we give an example of an average of positive semi-definite matrices where there is no approximation of this average by Cd elements. Thus, the result of Batson, Spielman and Srivastava cannot be extended to this wider class of matrices. Next, we present a stability version of Rudelson's result on positive semi-definite matrices, and thus, extend it to certain non-symmetric matrices. This yields applications to the study of the Banach–Mazur distance of convex bodies. Finally, we show that in some cases, one needs to take a subset of the vectors of order d 2 to approximate the identity.

中文翻译：

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一些随机矩阵的平均值的近似

摘要 Rudelson 定理指出，如果对于一组单位向量 ui 和正权重 ci ，我们有 ∑ ciui ⊗ ui 是 R d 上的恒等算子 I，那么 C d ln ⁡ d 的随机样本的总和产品接近 I。 ln ⁡ d 项不能被删除。另一方面，最近 Batson、Spielman 和 Srivastava 的基本结果以及 Marcus、Spielman 和 Srivastava 的改进表明，如果想要证明 I 的良好近似的存在，则可以去除 ln ⁡ d 项一些二元产品的平均值。众所周知，与 Rudelson 基本相同的证明产生了关于半正定矩阵的平均值的更一般的陈述。第一的，我们给出了一个半正定矩阵的平均值的例子，其中 Cd 元素没有对该平均值的近似值。因此，Batson、Spielman 和 Srivastava 的结果不能扩展到这个更广泛的矩阵类。接下来，我们展示了 Rudelson 在半正定矩阵上的结果的稳定性版本，从而将其扩展到某些非对称矩阵。这产生了用于研究凸体的 Banach-Mazur 距离的应用。最后，我们表明在某些情况下，需要采用 d 2 阶向量的子集来近似标识。这产生了用于研究凸体的 Banach-Mazur 距离的应用。最后，我们表明在某些情况下，需要采用 d 2 阶向量的子集来近似标识。这产生了用于研究凸体的 Banach-Mazur 距离的应用。最后，我们表明在某些情况下，需要采用 d 2 阶向量的子集来近似标识。