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Dynamical Systems of the p-Adic (2, 2)-Rational Functions with Two Fixed Points
Results in Mathematics ( IF 2.2 ) Pub Date : 2020-06-13 , DOI: 10.1007/s00025-020-01227-y
U. A. Rozikov , I. A. Sattarov

We consider a family of $(2,2)$-rational functions given on the set of complex $p$-adic field $\mathcal{C}_p$. Each such function $f$ has the two distinct fixed points $x_1=x_1(f)$, $x_2=x_2(f)$. We study $p$-adic dynamical systems generated by the $(2,2)$-rational functions. We prove that $x_1$ is always indifferent fixed point for $f$, i.e., $x_1$ is a center of some Siegel disk $SI(x_1)$. Depending on the parameters of the function $f$, the type of the fixed point $x_2$ may be any possibility: indifferent, attractor, repeller. We find Siegel disk or basin of attraction of the fixed point $x_2$, when $x_2$ is indifferent or attractor, respectively. When $x_2$ is repeller we find an open ball any point of which repelled from $x_2$. Moreover, we study relations between the sets $SI(x_1)$ and $SI(x_2)$ when $x_2$ is indifferent. For each $(2,2)$-rational function on $\mathcal{C}_p$ there are two points $\hat x_1=\hat x_1(f)$, $\hat x_2=\hat x_2(f)\in \mathcal{C}_p$ which are zeros of its denominator. We give explicit formulas of radiuses of spheres (with the center at the fixed point $x_1$) containing some points such that the trajectories (under actions of $f$) of the points after a finite step come to $\hat x_1$ or $\hat x_2$. We study periodic orbits of the dynamical system and find an invariant set, which contains all periodic orbits. Moreover, we study ergodicity properties of the dynamical system on each invariant sphere. Under some conditions we show that the system is ergodic iff $p=2$.

中文翻译:

具有两个不动点的 p-Adic (2, 2)-有理函数的动力系统

我们考虑在一组复杂的 $p$-adic 域 $\mathcal{C}_p$ 上给出的一系列 $(2,2)$-有理函数。每个这样的函数 $f$ 都有两个不同的不动点 $x_1=x_1(f)$, $x_2=x_2(f)$。我们研究由 $(2,2)$-有理函数生成的 $p$-adic 动力系统。我们证明$x_1$对于$f$始终是无关不动点,即$x_1$是某个西格尔圆盘$SI(x_1)$的中心。根据函数 $f$ 的参数,不动点 $x_2$ 的类型可能是任何可能:无差别、吸引子、排斥。我们找到固定点$x_2$ 的Siegel 圆盘或吸引力盆,当$x_2$ 分别是无所谓或吸引子时。当 $x_2$ 是排斥面时,我们找到一个开球,它的任何一点都被 $x_2$ 排斥。此外,我们研究了当 $x_2$ 无关紧要时集合 $SI(x_1)$ 和 $SI(x_2)$ 之间的关系。对于每个 $(2, 2)$\mathcal{C}_p$上的$-有理函数有两点$\hat x_1=\hat x_1(f)$, $\hat x_2=\hat x_2(f)\in \mathcal{C} _p$ 是其分母的零。我们给出了球体半径的明确公式(以固定点 $x_1$ 为中心)包含一些点,使得有限步后点的轨迹(在 $f$ 的作用下)达到 $\hat x_1$ 或$\hat x_2$。我们研究动力系统的周期轨道并找到一个包含所有周期轨道的不变集。此外,我们研究了动力系统在每个不变球面上的遍历性。在某些条件下,我们证明系统是遍历的当 iff $p=2$。我们给出了球体半径的明确公式(以固定点 $x_1$ 为中心)包含一些点,使得有限步后点的轨迹(在 $f$ 的作用下)达到 $\hat x_1$ 或$\hat x_2$。我们研究动力系统的周期轨道并找到一个包含所有周期轨道的不变集。此外,我们研究了动力系统在每个不变球面上的遍历性。在某些条件下,我们证明系统是遍历的当 iff $p=2$。我们给出了球体半径的明确公式(以固定点 $x_1$ 为中心)包含一些点,使得有限步后点的轨迹(在 $f$ 的作用下)达到 $\hat x_1$ 或$\hat x_2$。我们研究动力系统的周期轨道并找到一个包含所有周期轨道的不变集。此外,我们研究了动力系统在每个不变球面上的遍历性。在某些条件下,我们证明系统是遍历的当 iff $p=2$。我们研究了每个不变球体上动力系统的遍历性特性。在某些条件下,我们证明系统是遍历的当 iff $p=2$。我们研究了每个不变球体上动力系统的遍历性特性。在某些条件下,我们证明系统是遍历的当 iff $p=2$。
更新日期:2020-06-13
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