In function inversion, we are given a function $f: [N] \mapsto [N]$, and want to prepare some advice of size $S$, such that we can efficiently invert any image in time $T$. This is a well studied problem with profound connections to cryptography, data structures, communication complexity, and circuit lower bounds. Investigation of this problem in the quantum setting was initiated by Nayebi, Aaronson, Belovs, and Trevisan (2015), who proved a lower bound of $ST^2 = \tilde\Omega(N)$ for random permutations against classical advice, leaving open an intriguing possibility that Grover's search can be sped up to time $\tilde O(\sqrt{N/S})$. Recent works by Hhan, Xagawa, and Yamakawa (2019), and Chung, Liao, and Qian (2019) extended the argument for random functions and quantum advice, but the lower bound remains $ST^2 = \tilde\Omega(N)$. In this work, we prove that even with quantum advice, $ST + T^2 = \tilde\Omega(N)$ is required for an algorithm to invert random functions. This demonstrates that Grover's search is optimal for $S = \tilde O(\sqrt{N})$, ruling out any substantial speed-up for Grover's search even with quantum advice. Further improvements to our bounds would imply a breakthrough in circuit lower bounds, as shown by Corrigan-Gibbs and Kogan (2019). To prove this result, we develop a general framework for establishing quantum time-space lower bounds. We further demonstrate the power of our framework by proving quantum time-space lower bounds for Yao's box problem and salted cryptography.

中文翻译：

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函数反演的严格量子时空权衡

在函数反转中，我们给定了一个函数 $f: [N] \mapsto [N]$，并且想要准备一些大小为 $S$ 的建议，以便我们可以在时间 $T$ 中有效地反转任何图像。这是一个经过深入研究的问题，与密码学、数据结构、通信复杂性和电路下界有着深刻的联系。Nayebi、Aaronson、Belovs 和 Trevisan（2015 年）发起了对量子设置中这个问题的研究，他们证明了 $ST^2 = \tilde\Omega(N)$ 的下界与经典建议的随机排列，离开开启一个有趣的可能性，即 Grover 的搜索可以加速到时间 $\tilde O(\sqrt{N/S})$。Hhan、Xagawa 和 Yamakawa（2019）以及 Chung、Liao 和 Qian（2019）最近的工作扩展了随机函数和量子建议的论证，但下界仍然是 $ST^2 = \tilde\Omega(N) $. 在这项工作中，我们证明了即使使用量子建议，算法也需要 $ST + T^2 = \tilde\Omega(N)$ 来反转随机函数。这表明 Grover 的搜索对于 $S = \tilde O(\sqrt{N})$ 是最佳的，即使使用量子建议也排除了 Grover 搜索的任何实质性加速。如 Corrigan-Gibbs 和 Kogan（2019 年）所示，对我们的界限的进一步改进意味着电路下界的突破。为了证明这个结果，我们开发了一个用于建立量子时空下界的通用框架。我们通过证明姚盒问题和盐渍密码学的量子时空下界，进一步证明了我们框架的力量。s 搜索对于 $S = \tilde O(\sqrt{N})$ 是最佳的，即使使用量子建议也排除了 Grover 搜索的任何实质性加速。如 Corrigan-Gibbs 和 Kogan（2019 年）所示，对我们的界限的进一步改进意味着电路下界的突破。为了证明这个结果，我们开发了一个用于建立量子时空下界的通用框架。我们通过证明姚盒问题和盐渍密码学的量子时空下界，进一步证明了我们框架的力量。s 搜索对于 $S = \tilde O(\sqrt{N})$ 是最佳的，即使使用量子建议也排除了 Grover 搜索的任何实质性加速。如 Corrigan-Gibbs 和 Kogan（2019 年）所示，对我们的界限的进一步改进意味着电路下界的突破。为了证明这个结果，我们开发了一个用于建立量子时空下界的通用框架。我们通过证明姚盒问题和盐渍密码学的量子时空下界，进一步证明了我们框架的力量。我们开发了一个用于建立量子时空下界的通用框架。我们通过证明姚盒问题和盐渍密码学的量子时空下界，进一步证明了我们框架的力量。我们开发了一个用于建立量子时空下界的通用框架。我们通过证明姚盒问题和盐渍密码学的量子时空下界，进一步证明了我们框架的力量。