A Banach algebra $A$ is said to be a zero Jordan product determined Banach algebra if, for every Banach space $X$, every bilinear map $\unicode[STIX]{x1D711}:A\times A\rightarrow X$ satisfying $\unicode[STIX]{x1D711}(a,b)=0$ whenever $a$, $b\in A$ are such that $ab+ba=0$, is of the form $\unicode[STIX]{x1D711}(a,b)=\unicode[STIX]{x1D70E}(ab+ba)$ for some continuous linear map $\unicode[STIX]{x1D70E}$. We show that all $C^{\ast }$-algebras and all group algebras $L^{1}(G)$ of amenable locally compact groups have this property and also discuss some applications.

中文翻译：

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零约旦积确定的巴拿赫代数

巴拿赫代数$澳元据说是一个零约旦积确定的巴拿赫代数如果，对于每个巴拿赫空间$X$, 每个双线性映射$\unicode[STIX]{x1D711}:A\times A\rightarrow X$令人满意的$\unicode[STIX]{x1D711}(a,b)=0$每当$a$,$b\in 澳元是这样的$ab+ba=0$, 是形式$\unicode[STIX]{x1D711}(a,b)=\unicode[STIX]{x1D70E}(ab+ba)$对于一些连续的线性地图$\unicode[STIX]{x1D70E}$. 我们证明了所有$C^{\ast }$-代数和所有群代数$L^{1}(G)$的顺从的本地紧凑组具有此属性，并且还讨论了一些应用程序。