Let $K=\mathbb{Q}(\unicode[STIX]{x1D714})$ with $\unicode[STIX]{x1D714}$ the root of a degree $n$ monic irreducible polynomial $f\in \mathbb{Z}[X]$ . We show that the degree $n$ polynomial $N(\sum _{i=1}^{n-k}x_{i}\unicode[STIX]{x1D714}^{i-1})$ in $n-k$ variables takes the expected asymptotic number of prime values if $n\geqslant 4k$ . In the special case $K=\mathbb{Q}(\sqrt[n]{\unicode[STIX]{x1D703}})$ , we show that $N(\sum _{i=1}^{n-k}x_{i}\sqrt[n]{\unicode[STIX]{x1D703}^{i-1}})$ takes infinitely many prime values, provided $n\geqslant 22k/7$ . Our proof relies on using suitable ‘Type I’ and ‘Type II’ estimates in Harman’s sieve, which are established in a similar overall manner to the previous work of Friedlander and Iwaniec on prime values of $X^{2}+Y^{4}$ and of Heath-Brown on $X^{3}+2Y^{3}$ . Our proof ultimately relies on employing explicit elementary estimates from the geometry of numbers and algebraic geometry to control the number of highly skewed lattices appearing in our final estimates.

中文翻译：

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由不完整的范式表示的素数

让 $K=\mathbb{Q}(\unicode[STIX]{x1D714})$ 和 $\unicode[STIX]{x1D714}$ 学位的根源 $n$ 一元不可约多项式 $f\in \mathbb{Z}[X]$ . 我们证明度 $n$ 多项式 $N(\sum _{i=1}^{nk}x_{i}\unicode[STIX]{x1D714}^{i-1})$ 在 $nk$ variables 取预期的素值的渐近数，如果 $n\geqslant 4k$ . 在特殊情况下 $K=\mathbb{Q}(\sqrt[n]{\unicode[STIX]{x1D703}})$ , 我们证明 $N(\sum _{i=1}^{nk}x_{i}\sqrt[n]{\unicode[STIX]{x1D703}^{i-1}})$ 取无穷多个素值，前提是 $n\geqslant 22k/7$ . 我们的证明依赖于在 Harman 筛子中使用合适的“I 型”和“II 型”估计，其总体方式与 Friedlander 和 Iwaniec 先前关于 $X^{2}+Y^{4}$ 和希思布朗的 $X^{3}+2Y^{3}$ . 我们的证明最终依赖于使用来自数字几何和代数几何的显式基本估计来控制我们最终估计中出现的高度偏斜晶格的数量。