Suppose that $0<|\unicode[STIX]{x1D70C}|<1$ and $m\geqslant 2$ is an integer. Let $\unicode[STIX]{x1D707}_{\unicode[STIX]{x1D70C},m}$ be the self-similar measure defined by $\unicode[STIX]{x1D707}_{\unicode[STIX]{x1D70C},m}(\cdot )=\frac{1}{m}\sum _{j=0}^{m-1}\unicode[STIX]{x1D707}_{\unicode[STIX]{x1D70C},m}(\unicode[STIX]{x1D70C}^{-1}(\cdot )-j)$ . Assume that $\unicode[STIX]{x1D70C}=\pm (q/p)^{1/r}$ for some $p,q,r\in \mathbb{N}^{+}$ with $(p,q)=1$ and $(p,m)=1$ . We prove that if $(q,m)=1$ , then there are at most $m$ mutually orthogonal exponential functions in $L^{2}(\unicode[STIX]{x1D707}_{\unicode[STIX]{x1D70C},m})$ and $m$ is the best possible. If $(q,m)>1$ , then there are any number of orthogonal exponential functions in $L^{2}(\unicode[STIX]{x1D707}_{\unicode[STIX]{x1D70C},m})$ .

假设 $ 0 <| \ unicode [STIX] {x1D70C} | <1 $ 和 $ m \ geqslant 2 $ 是整数。令 $ \ unicode [STIX] {x1D707} _ {\ unicode [STIX] {x1D70C}，m} $ 为 $ \ unicode [STIX] {x1D707} _ {\ unicode [STIX] {x1D70C }，m}（\ cdot）= \ frac {1} {m} \ sum _ {j = 0} ^ {m-1} \ unicode [STIX] {x1D707} _ {\ unicode [STIX] {x1D70C}， m}（\ unicode [STIX] {x1D70C} ^ {-1}（\ cdot）-j）$ 。假设 $ \ unicode [STIX] {x1D70C} = \ pm（q / p）^ {1 / r} $ 对于 $ mathbb {N} ^ {+} $中的某些$ p，q，r \ 与 $（p ，q）= 1 $ 和 $（p，m）= 1 $ 。我们证明如果 $（q，m）= 1 $ ，则最多有 $ m $ $ L ^ {2}（\ unicode [STIX] {x1D707} _ {\ unicode [STIX] {x1D70C}，m}）$ 和 $ m $中 相互正交的指数函数是最好的。如果 $（q，m）> 1 $ ，则 $ L ^ {2}中有任意数量的正交指数函数（\ unicode [STIX] {x1D707} _ {\ unicode [STIX] {x1D70C}，m}） $ 。