In 1946, A. Selberg proved $N(\sigma,T) \ll T^{1-\frac{1}{4} \left(\sigma-\frac{1}{2}\right)} \log{T}$ where $N(\sigma,T)$ is the number of nontrivial zeros $\rho$ of the Riemann zeta-function with $\Re\{\rho\}>\sigma$ and $0<\Im\{\rho\}\leq T$. We provide an explicit version of this estimate, together with an explicit approximate functional equation and an explicit upper bound for the second power moment of zeta-function on the critical line.

中文翻译：

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临界线附近黎曼 zeta 函数的显式零密度估计

1946 年，A. Selberg 证明了 $N(\sigma,T) \ll T^{1-\frac{1}{4} \left(\sigma-\frac{1}{2}\right)} \log {T}$ 其中 $N(\sigma,T)$ 是黎曼 zeta 函数的非平凡零点 $\rho$ 的数量，其中 $\Re\{\rho\}>\sigma$ 和 $0<\Im\ {\rho\}\leq T$。我们提供了该估计的明确版本，以及明确的近似函数方程和临界线上 zeta 函数的二次幂矩的明确上限。