We consider the deformed versions of the classical Howe dual pairs $(O(r),\mathfrak{s}\mathfrak{l}(2))$ and $(O(r),\mathfrak{s}\mathfrak{p}\mathfrak{o}(2|2))$ in the context of a rational Cherednik algebra $H_c=H_c(W,\mathfrak{h})$ associated to a finite Coxeter group $W$ at the parameters $c$ and $t=1$. For the first pair, we compute the centraliser of the well-known copy of $\mathfrak{s}\cong\mathfrak{s}\mathfrak{l}(2)$ inside $H_c$. For the second pair, we show that the classical copy of $\mathfrak{g}\cong\mathfrak{s}\mathfrak{p}\mathfrak{o}(2|2)$ inside the Weyl-Clifford algebra $\mathcal{W}\otimes\mathcal{C}$ deforms to a Lie superalgebra inside $H_c\otimes\mathcal{C}$ and compute its centraliser algebra. For a generic parameter $c$ such that the standard $H_c$-module is unitary, we compute the joint $((H_c)^{\mathfrak{s}},\mathfrak{s})$- and $((H_c\otimes\mathcal{C})^{\mathfrak{g}},\mathfrak{g})$-decompositions of the relevant modules.

中文翻译：

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Howe 对偶的 Dunkl-Cherednik 变形

我们考虑经典 Howe 对偶对 $(O(r),\mathfrak{s}\mathfrak{l}(2))$ 和 $(O(r),\mathfrak{s}\mathfrak{p }\mathfrak{o}(2|2))$ 在有理 Cherednik 代数 $H_c=H_c(W,\mathfrak{h})$ 的上下文中，与参数 $c$ 处的有限 Coxeter 群 $W$ 相关联并且 $t=1$。对于第一对，我们计算 $\mathfrak{s}\cong\mathfrak{s}\mathfrak{l}(2)$ 在 $H_c$ 中的众所周知副本的中心化器。对于第二对，我们证明了 Weyl-Clifford 代数 $\mathcal 中 $\mathfrak{g}\cong\mathfrak{s}\mathfrak{p}\mathfrak{o}(2|2)$ 的经典副本{W}\otimes\mathcal{C}$ 变形为 $H_c\otimes\mathcal{C}$ 内的李超代数并计算其中心代数。对于通用参数 $c$ 使得标准 $H_c$-module 是幺正的，我们计算联合 $((H_c)^{\mathfrak{s}},