We introduce a new category of differential graded multi-oriented props whose representations (called homotopy algebras with branes) in a graded vector space require a choice of a collection of k linear subspaces in that space, k being the number of extra orientations (if $$k=0$$ k = 0 this structure recovers an ordinary prop); symplectic vector spaces equipped with k Lagrangian subspaces play a distinguished role in this theory. Manin triples is a classical example of an algebraic structure (concretely, a Lie bialgebra structure) given in terms of a vector space and its subspace; in the context of this paper, Manin triples are precisely symplectic Lagrangian representations of the 2-oriented generalization of the classical operad of Lie algebras. In a sense, the theory of multi-oriented props provides us with a far reaching strong homotopy generalization of Manin triples type constructions. The homotopy theory of multi-oriented props can be quite non-trivial (and different from that of ordinary props). The famous Grothendieck–Teichmüller group acts faithfully as homotopy non-trivial automorphisms on infinitely many multi-oriented props, a fact which motivated much the present work as it gives us a hint to a non-trivial deformation quantization theory in every geometric dimension $$d\ge 4$$ d ≥ 4 generalizing to higher dimensions Drinfeld–Etingof–Kazhdan’s quantizations of Lie bialgebras (the case $$d=3$$ d = 3 ) and Kontsevich’s quantizations of Poisson structures (the case $$d=2$$ d = 2 ).

中文翻译：

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多向道具和带膜的同伦代数

我们引入了一类新的差分分级多向道具，其在分级矢量空间中的表示（称为带膜的同伦代数）需要在该空间中选择 k 个线性子空间的集合，k 是额外方向的数量（如果 $ $k=0$$ k = 0 这个结构恢复了一个普通的道具）；配备 k 个拉格朗日子空间的辛向量空间在该理论中扮演着重要角色。Manin 三元组是用向量空间及其子空间给出的代数结构（具体地说，李双代数结构）的经典例子；在本文的上下文中，Manin 三元组正是李代数经典运算的 2 向推广的辛拉格朗日表示。从某种意义上说，多向道具理论为我们提供了对 Manin 三元组类型结构的深远强同伦概括。多向道具的同伦理论可能非常重要（与普通道具不同）。著名的 Grothendieck-Teichmüller 群忠实地充当了无限多个多向 props 上的同伦非平凡自同构，这一事实激发了当前的工作，因为它为我们提供了在每个几何维度上的非平凡变形量化理论的暗示 $$ d\ge 4$$ d ≥ 4 推广到更高维度 Drinfeld–Etingof–Kazhdan 对李双代数的量化（情况 $$d=3$$ d = 3 ）和 Kontsevich 对 Poisson 结构的量化（情况 $$d=2 $$ d = 2)。多向道具的同伦理论可能非常重要（与普通道具不同）。著名的 Grothendieck-Teichmüller 群忠实地充当了无限多个多向 props 上的同伦非平凡自同构，这一事实激发了当前的工作，因为它为我们提供了在每个几何维度上的非平凡变形量化理论的暗示 $$ d\ge 4$$ d ≥ 4 推广到更高维度 Drinfeld–Etingof–Kazhdan 对李双代数的量化（情况 $$d=3$$ d = 3 ）和 Kontsevich 对 Poisson 结构的量化（情况 $$d=2 $$ d = 2)。多向道具的同伦理论可能非常重要（与普通道具不同）。著名的 Grothendieck-Teichmüller 群忠实地充当了无限多个多向 props 上的同伦非平凡自同构，这一事实激发了当前的工作，因为它为我们提供了在每个几何维度上的非平凡变形量化理论的暗示 $$ d\ge 4$$ d ≥ 4 推广到更高维度 Drinfeld–Etingof–Kazhdan 对李双代数的量化（情况 $$d=3$$ d = 3 ）和 Kontsevich 对 Poisson 结构的量化（情况 $$d=2 $$ d = 2 )。