We derive exact formulas for the $$\chi ^2$$ statistics of the distribution of the leading digit of $$a^n$$, where $$\log _{10} a$$ has a large first or second partial quotient in its continued fraction expansion. We also give a mathematical explanation for the difference between the behavior of the discrepancy and that of the distribution of leading digits.

中文翻译：

---

关于具有较大第一或第二偏商的无理旋转的前导数字的 $$\chi ^2$$χ2 统计

我们推导出 $$\chi ^2$$ 前导数字 $$a^n$$ 分布的精确公式，其中 $$\log _{10} a$$ 有一个大的第一或第二部分其连续分数扩展中的商。我们还对差异行为与前导数字分布行为之间的差异给出了数学解释。