We study three different topologies on the moduli space $$\mathcal {H}^\mathrm{loc}_m$$ H m loc of equivariant local isometry classes of m -dimensional locally homogeneous Riemannian spaces. As an application, we provide the first examples of locally homogeneous spaces converging to a limit space in the pointed $$\mathcal {C}^{k,\alpha }$$ C k , α -topology, for some $$k>1$$ k > 1 , which do not admit any convergent subsequence in the pointed $$\mathcal {C}^{k+1}$$ C k + 1 -topology.

中文翻译：

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局部同质空间的收敛

我们研究了 m 维局部齐次黎曼空间的等变局部等距类的模空间 $$\mathcal {H}^\mathrm{loc}_m$$ H m loc 上的三种不同拓扑。作为一个应用，我们提供了第一个局部齐次空间收敛到指向 $$\mathcal {C}^{k,\alpha }$$ C k , α -拓扑中的极限空间的例子，对于某些 $$k> 1$$ k > 1 ，在指向 $$\mathcal {C}^{k+1}$$ C k + 1 -topology 中不承认任何收敛子序列。