Extending the model of the interval, we explicitly define for each n ≥ 0 a free complete differential graded Lie algebra $$\mathfrak{L}_n$$ L n generated by the simplices of Δ n , with desuspended degrees, in which the vertices are Maurer-Cartan elements and the differential extends the simplicial chain complex of the standard n-simplex. The family $$\{\mathfrak{L{_\bullet}}\}_{n\geq0}$$ { L ∙ } n ≥ 0 is endowed with a cosimplicial differential graded Lie algebra structure which we use to construct two adjoint functors $$Simpset\underset{{\left\langle \cdot \right\rangle }}{\overset{\mathfrak{L}}{\longleftrightarrow}}DGL$$ S i m p s e t ⟷ L ⟨ ⋅ ⟩ D G L given by $$\langle{L}\rangle_\bullet={\rm{DGL}}(\mathfrak{L}_\bullet,L)$$ ⟨ L ⟩ ∙ = D G L ( L ∙ , L ) and $$\mathfrak{L}(K)=\lim_{\rightarrow K}\mathfrak{L_\bullet}$$ L ( K ) = lim → K L ∙ . This new tool lets us extend the Quillen rational homotopy theory approach to any simplicial set K whose path components are not necessarily simply connected. We prove that $$\mathfrak{L}(K)$$ L ( K ) contains a model of each component of K . When K is a 1-connected finite simplicial complex, the Quillen model of K can be extracted from $$\mathfrak{L}(K)$$ L ( K ) . When K is connected then, for a perturbed differential ϑ a , $$H_0(\mathfrak{L}(K),\partial_a)$$ H 0 ( L ( K ) , ∂ a ) is the Malcev Lie completion of π 1 ( K ). Analogous results are obtained for the realization 〈 L 〉 of any complete DGL.

中文翻译：

---

单纯集的李模型和 Quillen 函子的可表示性

扩展区间模型，我们为每个 n ≥ 0 明确定义一个自由完全微分分级李代数 $$\mathfrak{L}_n$$ L n 由 Δ n 的单纯形生成，具有去悬浮度，其中顶点是 Maurer-Cartan 元素，微分扩展了标准 n-单纯形的单纯链复形。$$\{\mathfrak{L{_\bullet}}\}_{n\geq0}$$ { L ∙ } n ≥ 0 被赋予了一个cosimplicial 微分分级李代数结构，我们用它来构造两个伴随仿函数 $$Simpset\underset{{\left\langle \cdot \right\rangle }}{\overset{\mathfrak{L}}{\longleftrightarrow}}DGL$$ S impset ⟷ L ⟨ ⋅ ⟩ DGL 由 $$ 给出\langle{L}\rangle_\bullet={\rm{DGL}}(\mathfrak{L}_\bullet,L)$$ ⟨ L ⟩ ∙ = DGL ( L ∙ , L ) 和 $$\mathfrak{L }(K)=\lim_{\rightarrow K}\mathfrak{L_\bullet}$$ L ( K ) = lim → KL ∙ . 这个新工具让我们将 Quillen 有理同伦理论方法扩展到任何路径分量不一定是简单连接的单纯集 K。我们证明 $$\mathfrak{L}(K)$$L ( K ) 包含 K 的每个分量的模型。当 K 是 1-连通有限单纯复形时，可以从 $$\mathfrak{L}(K)$$ L ( K ) 中提取 K 的 Quillen 模型。当 K 连通时，对于扰动微分 ϑ a ，$$H_0(\mathfrak{L}(K),\partial_a)$$H 0 ( L ( K ) , ∂ a ) 是 π 1 的马尔切夫李完成(K)。对于任何完整 DGL 的实现<L>，都获得了类似的结果。当 K 是 1-连通有限单纯复形时，可以从 $$\mathfrak{L}(K)$$ L ( K ) 中提取 K 的 Quillen 模型。当 K 连通时，对于扰动微分 ϑ a ，$$H_0(\mathfrak{L}(K),\partial_a)$$H 0 ( L ( K ) , ∂ a ) 是 π 1 的马尔切夫李完成(K)。对于任何完整 DGL 的实现<L>，都获得了类似的结果。当 K 是 1-连通有限单纯复形时，可以从 $$\mathfrak{L}(K)$$ L ( K ) 中提取 K 的 Quillen 模型。当 K 连通时，对于扰动微分 ϑ a ，$$H_0(\mathfrak{L}(K),\partial_a)$$H 0 ( L ( K ) , ∂ a ) 是 π 1 的马尔切夫李完成(K)。对于任何完整 DGL 的实现<L>，都获得了类似的结果。