This paper investigates the buckling analysis of periodic beams by a geometrically nonlinear equivalent micro-polar model that is built through the results of the unit cell transfer matrix eigenanalysis. The periodic system considered is the Vierendeel girder under compressive axial loads. The stiffness properties of the equivalent model are evaluated by an averaging process of unit cell strain energies associated with the inner force transmission modes, without any assumption on the real beam kinematics. Hence, equilibrium equations are achieved by the virtual power principle. Closed-form solutions are obtained for the girder critical loads and deformed shapes. They are of great accuracy in a wide range of conditions. However, model longitudinal shear strains are geometrically not compatible when the shear force is not uniform. Therefore, in cases where the girder response is dominated by these strains, the accuracy of buckling load estimates may be poor. To overcome this limitation, using a particular solution of the model equilibrium equations, the search for the critical load is carried out re-stating the buckling problem in an alternative form: conditions are investigated under which a system of self-equilibrated inner bending moments, able to bend the equivalent beam without violating geometrical compatibility, will exist. It is shown that this system is defined by an integral equation that, when solved by the Galerkin method, leads to buckling load estimates and deformed shapes that are in very close agreement with the ones obtained from classical finite element models.

中文翻译：

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基于微极均质模型的周期性 Vierendeel 梁屈曲分析

本文通过几何非线性等效微极模型研究了周期性梁的屈曲分析，该模型通过晶胞传递矩阵特征分析的结果建立。考虑的周期系统是在轴向压缩载荷下的 Vierendeel 梁。等效模型的刚度特性是通过与内力传递模式相关的单位单元应变能的平均过程来评估的，而无需对实际梁运动学进行任何假设。因此，平衡方程是通过虚功率原理实现的。获得了梁临界载荷和变形形状的封闭形式解。它们在各种条件下都具有极高的准确性。然而，当剪切力不均匀时，模型纵向剪切应变在几何上是不兼容的。所以，在梁响应受这些应变支配的情况下，屈曲载荷估计的准确性可能很差。为了克服这个限制，使用模型平衡方程的特定解，搜索临界载荷以另一种形式重新表述屈曲问题：研究自平衡内弯矩系统的条件，能够在不违反几何兼容性的情况下弯曲等效梁，将存在。结果表明，该系统由一个积分方程定义，当用 Galerkin 方法求解时，会导致屈曲载荷估计和变形形状与从经典有限元模型获得的非常接近。屈曲载荷估计的准确性可能很差。为了克服这个限制，使用模型平衡方程的特定解，搜索临界载荷以另一种形式重新表述屈曲问题：研究自平衡内弯矩系统的条件，能够在不违反几何兼容性的情况下弯曲等效梁，将存在。结果表明，该系统由一个积分方程定义，当用 Galerkin 方法求解时，该方程导致屈曲载荷估计和变形形状与从经典有限元模型获得的非常接近。屈曲载荷估计的准确性可能很差。为了克服这个限制，使用模型平衡方程的特定解，搜索临界载荷以另一种形式重新表述屈曲问题：研究自平衡内弯矩系统的条件，能够在不违反几何兼容性的情况下弯曲等效梁，将存在。结果表明，该系统由一个积分方程定义，当用 Galerkin 方法求解时，会导致屈曲载荷估计和变形形状与从经典有限元模型获得的非常接近。对临界载荷的搜索以另一种形式重新表述屈曲问题：研究条件是，在这种条件下，自平衡内弯矩系统能够弯曲等效梁而不违反几何兼容性，将存在。结果表明，该系统由一个积分方程定义，当用 Galerkin 方法求解时，会导致屈曲载荷估计和变形形状与从经典有限元模型获得的非常接近。对临界载荷的搜索以另一种形式重新表述屈曲问题：研究条件是，在这种条件下，自平衡内弯矩系统能够弯曲等效梁而不违反几何兼容性，将存在。结果表明，该系统由一个积分方程定义，当用 Galerkin 方法求解时，会导致屈曲载荷估计和变形形状与从经典有限元模型获得的非常接近。