Since techniques used to address the Nivat's conjecture usually relies on Morse-Hedlund Theorem, an improved version of this classical result may mean a new step towards a proof for the conjecture. In this paper, considering an alphabetical version of the Morse-Hedlund Theorem, we show that, for a configuration $\eta \in A^{\mathbb{Z}^2}$ that contains all letters of a given finite alphabet $A$, if its complexity with respect to a quasi-regular set $\mathcal{S} \subset \mathbb{Z}^2$ (a finite set whose convex hull on $\mathbb{R}^2$ is described by pairs of edges with identical size) is bounded from above by $\frac{1}{2}|\mathcal{S}|+|A|-1$, then $\eta$ is periodic.

中文翻译：

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Nivat 猜想的字母顺序方法

由于用于解决 Nivat 猜想的技术通常依赖于 Morse-Hedlund 定理，因此该经典结果的改进版本可能意味着朝着证明该猜想的方向迈出了新的一步。在本文中，考虑 Morse-Hedlund 定理的字母版本，我们表明，对于包含给定有限字母表 $A 的所有字母的配置 $\eta \in A^{\mathbb{Z}^2}$ $，如果它相对于准正则集合 $\mathcal{S} \subset \mathbb{Z}^2$（一个有限集，其在 $\mathbb{R}^2$ 上的凸包由成对描述）的复杂性相同大小的边）从上方以 $\frac{1}{2}|\mathcal{S}|+|A|-1$ 为界，那么 $\eta$ 是周期性的。