We connect finiteness of the noncommutative integral in Alain Connes' noncommutative geometry with the study of tensor multipliers from classical Banach space theory. For the Lorentz function space${\mathrm{\Lambda }}_1({\mathbb{R}}^d)=\{f\in L_0({\mathbb{R}}^d):\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}\mu (s,f)(1+{\log }_{+}(s^{-1}))ds<\infty \}$ where $\mu (s,f)$, $s>0$, denotes the decreasing rearrangement of f, and ${\log }_{+}$ denotes the positive part of log on $(0,\infty )$, we prove using tensor multipliers the formula$\phi ({(1-{\mathrm{\Delta }}_{{\mathbb{R}}^d})}^{-d/4}{M}_f{(1-{\mathrm{\Delta }}_{{\mathbb{R}}^d})}^{-d/4})=\frac{\mathrm{Vol}{\mathbb{S}}^{d-1}}{d{(2\pi )}^d}\underset{{\mathbb{R}}^d}{\int }f(x)dx,f\in {\mathrm{\Lambda }}_1({\mathbb{R}}^d).$ Here $-{\mathrm{\Delta }}_{{\mathbb{R}}^d}$ is the selfadjoint extension of minus the Laplacian on ${\mathbb{R}}^d$, $M_f$ denotes the operation of pointwise multiplication, the operator ${(1-{\mathrm{\Delta }}_{{\mathbb{R}}^d})}^{-d/4}{M}_f{(1-{\mathrm{\Delta }}_{{\mathbb{R}}^d})}^{-d/4}$ has a bounded extension which is a compact operator from the Hilbert space $L_2({\mathbb{R}}^d)$ to itself, and φ is any continuous normalised trace on the ideal of compact operators on $L_2({\mathbb{R}}^d)$ with series of singular values at most logarithmically diverge. The formula fails given only $f\in L_1({\mathbb{R}}^d)$, and previously had been shown by different methods for the smaller set of functions $f\in L_2({\mathbb{R}}^d)$ that have compact support.

We prove a similar formula for the Laplace-Beltrami operator on a compact Riemannian manifold without boundary.

We discuss how the integral formula incorporates a last theorem of Nigel Kalton. We also extend to the case $p=2$ a classical result of Cwikel on weak estimates $p>2$ of operators of the form $M_{f}g(-i\mathrm{\nabla })$, $f\in L_p({\mathbb{R}}^d)$, $g\in L_{p,\infty }({\mathbb{R}}^d)$ where ∇ is the gradient operator.

我们将Alain Connes非交换几何中非交换积分的有限性与经典Banach空间理论中的张量乘子的研究联系起来。对于洛伦兹函数空间${\mathrm{\Lambda }}_{\mathrm{1个}}（{\mathbb{[R}}^d）=\{F\in {\mathrm{大号}}_0（{\mathbb{[R}}^d）：\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}\mu （s，F）（\mathrm{1个}+{\mathrm{日志}}_{+}（s^{-\mathrm{1个}}））ds<\infty \}$ 哪里 $\mu （s，F）$， $s>0$，表示f的递减重排，以及${\mathrm{日志}}_{+}$ 表示登录的积极部分 $（0，\infty ）$，我们证明使用张量乘法器的公式$\phi （{（\mathrm{1个}-{\mathrm{\Delta }}_{{\mathbb{[R}}^d}）}^{-d/4}{\mathrm{中号}}_F{（\mathrm{1个}-{\mathrm{\Delta }}_{{\mathbb{[R}}^d}）}^{-d/4}）=\frac{\mathrm{卷}{\mathbb{小号}}^{d-\mathrm{1个}}}{d{（2\pi ）}^d}\underset{{\mathbb{[R}}^d}{\int }F（X）dX，F\in {\mathrm{\Lambda }}_{\mathrm{1个}}（{\mathbb{[R}}^d）。$ 这里 $-{\mathrm{\Delta }}_{{\mathbb{[R}}^d}$ 是减去拉普拉斯算子上的自伴扩展 ${\mathbb{[R}}^d$， ${\mathrm{中号}}_F$ 表示逐点乘法运算，运算符 ${（\mathrm{1个}-{\mathrm{\Delta }}_{{\mathbb{[R}}^d}）}^{-d/4}{\mathrm{中号}}_F{（\mathrm{1个}-{\mathrm{\Delta }}_{{\mathbb{[R}}^d}）}^{-d/4}$ 有一个有界扩展，它是希尔伯特空间的一个紧凑算符 ${\mathrm{大号}}_2（{\mathbb{[R}}^d）$本身，而φ是理想紧致算符上的任何连续归一化迹${\mathrm{大号}}_2（{\mathbb{[R}}^d）$与一系列奇异值最多在对数上发散。该公式仅给出失败$F\in {\mathrm{大号}}_{\mathrm{1个}}（{\mathbb{[R}}^d）$，并且先前已通过不同的方法针对较小的功能集进行了展示 $F\in {\mathrm{大号}}_2（{\mathbb{[R}}^d）$ 具有紧凑的支持。

我们在无边界的紧凑黎曼流形上证明了Laplace-Beltrami算子的相似公式。

我们讨论积分公式如何结合Nigel Kalton的最后一个定理。我们还扩展到案例$p=2$ Cwikel关于弱估计的经典结果 $p>2$ 形式的运算符 ${\mathrm{中号}}_{F}G（-\mathrm{一世}\mathrm{\nabla }）$， $F\in {\mathrm{大号}}_p（{\mathbb{[R}}^d）$， $G\in {\mathrm{大号}}_{p，\infty }（{\mathbb{[R}}^d）$ ∇是梯度算子。