Abstract Let R be a finite unital commutative ring. We introduce a new class of finite groups, which we call hereditary groups over R. Our main result states that if G is a hereditary group over R, then a unital algebra isomorphism between group algebras R ⁢ G ≅ R ⁢ H {RG\cong RH} implies a group isomorphism G ≅ H {G\cong H} for every finite group H. As application, we study the modular isomorphism problem, which is the isomorphism problem for finite p-groups over R = 𝔽 p {R=\mathbb{F}_{p}} , where 𝔽 p {\mathbb{F}_{p}} is the field of p elements. We prove that a finite p-group G is a hereditary group over 𝔽 p {\mathbb{F}_{p}} provided G is abelian, G is of class two and exponent p, or G is of class two and exponent four. These yield new proofs for the theorems by Deskins and Passi–Sehgal.

中文翻译：

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群代数的同构问题：一个标准

摘要 令 R 为有限单位交换环。我们引入了一类新的有限群，我们称之为 R 上的遗传群。我们的主要结果表明，如果 G 是 R 上的一个遗传群，那么群代数之间的单位代数同构 R ⁢ G ≅ R ⁢ H {RG\cong RH} 隐含每个有限群 H 的群同构 G ≅ H {G\cong H}。作为应用，我们研究模同构问题，即有限 p 群在 R = 𝔽 p {R=\ mathbb{F}_{p}} ，其中 𝔽 p {\mathbb{F}_{p}} 是 p 个元素的域。我们证明了有限 p 群 G 是 𝔽 p {\mathbb{F}_{p}} 上的遗传群，前提是 G 是阿贝尔群，G 是二类且指数 p，或者 G 是二类且指数四. 这些为 Deskins 和 Passi-Sehgal 的定理提供了新的证明。