Abstract We study critical points of the Ginzburg–Landau (GL) functional and the abelian Yang–Mills–Higgs (YMH) functional on the sphere and the complex projective space, both equipped with the standard metrics. For the GL functional we prove that on S n with n ≥ 2 and C P n with n ≥ 1 , stable critical points must be constants. In addition, for GL critical points on S n for n ≥ 3 we obtain a lower bound on the Morse index under suitable assumptions. On the other hand, for the abelian YMH functional we prove that on S n with n ≥ 4 there are no stable critical points unless the line bundle is isomorphic to S n × C , in which case the only stable critical points are the trivial ones. Our methods come from the work of Lawson–Simons.

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关于 S 和 CPn 的 Ginzburg-Landau 方程解的不稳定性

摘要 我们研究了球体和复射影空间上的 Ginzburg-Landau (GL) 泛函和阿贝尔 Yang-Mills-Higgs (YMH) 泛函的临界点，两者都配备了标准度量。对于 GL 泛函，我们证明在 n ≥ 2 的 S n 和 n ≥ 1 的 CP n 上，稳定的临界点必须是常数。此外，对于 n ≥ 3 时 S n 上的 GL 临界点，我们在适当的假设下获得了莫尔斯指数的下限。另一方面，对于阿贝尔 YMH 泛函，我们证明在 n ≥ 4 的 S n 上没有稳定的临界点，除非线丛同构于 S n × C ，在这种情况下，唯一稳定的临界点是平凡的. 我们的方法来自 Lawson-Simons 的工作。