In this article, we obtain a characterizations and representations of set-valued solutions defined on an Abelian group G with values in a Hausdorff topological vector space of the following generalized bi-quadratic functional equation: $$\begin{aligned}&F(x+y,z+w)+F(x+y,z-w)+F(x-y,z+w)+F(x-y,z-w) \\&\quad =aF(x,z)+bF(x,w)+cF(y,z)+dF(y,w), \end{aligned}$$ F ( x + y , z + w ) + F ( x + y , z - w ) + F ( x - y , z + w ) + F ( x - y , z - w ) = a F ( x , z ) + b F ( x , w ) + c F ( y , z ) + d F ( y , w ) , for some nonnegative real numbers a , b , c , and d .

中文翻译：

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广义双二次函数方程的集值解

在本文中，我们获得了定义在阿贝尔群 G 上的集值解的表征和表示，其值位于以下广义双二次函数方程的 Hausdorff 拓扑向量空间中：$$\begin{aligned}&F(x+ y,z+w)+F(x+y,zw)+F(xy,z+w)+F(xy,zw) \\&\quad =aF(x,z)+bF(x,w) +cF(y,z)+dF(y,w), \end{aligned}$$ F ( x + y , z + w ) + F ( x + y , z - w ) + F ( x - y , z + w ) + F ( x - y , z - w ) = a F ( x , z ) + b F ( x , w ) + c F ( y , z ) + d F ( y , w ) ，对于某些非负实数 a 、 b 、 c 和 d 。