The problem of quantizing the space Ω d of smooth loops taking values in the d -dimensional vector space can be solved in the framework of the standard Dirac approach. But a natural symplectic form on Ωd can be extended to the Hilbert completion of Ω d coinciding with the Sobolev space V d := H 0 1/2 ( $$\mathbb{S}^1$$ S 1 , ℝ d ) of half-differentiable loops with values in ℝ d . We regard V d as the phase space of the theory of half-differentiable strings. This theory can be quantized using ideas from noncommutative geometry.

中文翻译：

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半可微弦理论的量化

量化取 d 维向量空间中的值的平滑环的空间 Ω d 的问题可以在标准狄拉克方法的框架中解决。但是 Ωd 上的自然辛形式可以扩展到 Ω d 的希尔伯特完成，与 Sobolev 空间 V d := H 0 1/2 ( $$\mathbb{S}^1$$ S 1 , ℝ d ) 重合值在 ℝ d 中的半可微循环。我们将 V d 视为半可微弦理论的相空间。这个理论可以使用非对易几何的思想来量化。