Let $p_o\left(n\right)$ denote the number of partitions of $n$ with more odd parts than even parts and let $p_e\left(n\right)$ denote the number of partitions of $n$ with more even parts than odd parts. Using $q$-series transformations we find a generating function for $p_o\left(n\right)-p_e\left(n\right)$, which implies that $p_o\left(n\right)>p_e\left(n\right)$ for all positive integers $n\ne 2$. Using combinatorial mappings we prove a stronger result, namely that for all $n>7$ we have $2p_e\left(n\right)<p_o\left(n\right)<3p_e\left(n\right)$. Finally, using asymptotic methods we show that $p_o\left(n\right)∕p_e\left(n\right)\to 1+\sqrt{2}$ as $n\to \infty$. We also examine related properties for two other types of partitions.

中文翻译：

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分区中的奇偶校验偏差

让 $p_{Ø}（ñ）$ 表示的分区数 $ñ$ 奇数部分比偶数部分多，让 $p_{Ë}（ñ）$ 表示的分区数 $ñ$偶数部分比奇数部分更多。使用$q$系列转换，我们找到了一个生成函数 $p_{Ø}（ñ）-p_{Ë}（ñ）$，这意味着 $p_{Ø}（ñ）>p_{Ë}（ñ）$ 对于所有正整数 $ñ\ne 2$。使用组合映射，我们证明了更好的结果，即对于所有人$ñ>7$ 我们有 $2p_{Ë}（ñ）<p_{Ø}（ñ）<3p_{Ë}（ñ）$。最后，使用渐近方法证明$p_{Ø}（ñ）∕p_{Ë}（ñ）\to \mathrm{1个}+\sqrt{2}$ 如 $ñ\to \infty$。我们还将检查其他两种类型的分区的相关属性。