Let $$p_1=2, p_2=3, p_3=5, \ldots$$ p 1 = 2 , p 2 = 3 , p 3 = 5 , … be the consecutive prime numbers, $$S_n$$ S n the numerical semigroup generated by the primes not less than $$p_n$$ p n and $$u_n$$ u n the largest irredundant generator of $$S_n$$ S n . We will show, that $$u_n\sim 3p_n$$ u n ∼ 3 p n . Similarly, for the largest integer $$f_n$$ f n not contained in $$S_n$$ S n , by computational evidence ( https://www.uni-regensburg.de/Fakultaeten/nat_Fak_I/Hellus/table_1.pdf ) we suspect that (1) $$f_n$$ f n is an odd number for $$n\ge 5$$ n ≥ 5 and (2) $$f_n\sim 3p_n$$ f n ∼ 3 p n ; further (3) $$4p_n>f_{n+1}$$ 4 p n > f n + 1 for $$n\ge 1$$ n ≥ 1 . If $$f_n$$ f n is odd for large n , then $$f_n\sim 3p_n$$ f n ∼ 3 p n . In case $$f_n\sim 3p_n$$ f n ∼ 3 p n every large even integer x is the sum of two primes. If $$4p_n>f_{n+1}$$ 4 p n > f n + 1 for $$n\ge 1$$ n ≥ 1 , then the Goldbach conjecture holds true. Further, Wilf’s question in Wilf (Am Math Mon 85:562–565, 1978) has a positive answer for the semigroups $$S_n$$ S n .

中文翻译：

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由素数生成的数值半群

令 $$p_1=2, p_2=3, p_3=5, \ldots$$ p 1 = 2 , p 2 = 3 , p 3 = 5 , ... 为连续质数，$$S_n$$ S n 为数值由不小于$$p_n$$ pn 和$$u_n$$ un 的素数生成的半群是$$S_n$$ S n 的最大冗余生成元。我们将证明 $$u_n\sim 3p_n$$ un ∼ 3 pn 。类似地，对于 $$S_n$$ S n 中不包含的最大整数 $$f_n$$ fn ，通过计算证据（ https://www.uni-regensburg.de/Fakultaeten/nat_Fak_I/Hellus/table_1.pdf ）我们怀疑 (1) $$f_n$$ fn 是奇数 $$n\ge 5$$ n ≥ 5 和 (2) $$f_n\sim 3p_n$$ fn ∼ 3 pn ；进一步 (3) $$4p_n>f_{n+1}$$ 4 pn > fn + 1 对于 $$n\ge 1$$ n ≥ 1 。如果 $$f_n$$ fn 对于大 n 是奇数，则 $$f_n\sim 3p_n$$ fn ∼ 3 pn 。在 $$f_n\sim 3p_n$$ fn ∼ 3 pn 的情况下，每个大偶数 x 都是两个素数的和。如果 $$4p_n> f_{n+1}$$ 4 pn > fn + 1 对于 $$n\ge 1$$ n ≥ 1 ，则哥德巴赫猜想成立。此外，Wilf 在 Wilf (Am Math Mon 85:562–565, 1978) 中的问题对半群 $$S_n$$ S n 有肯定的回答。