Lovasz (1965) characterized graphs without two vertex-disjoint cycles, which implies that such graphs have at most three vertices hitting all cycles. In this paper, we ask whether such a small hitting set exists for $S$-cycles, when a graph has no two vertex-disjoint $S$-cycles. For a graph $G$ and a vertex set $S$ of $G$, an $S$-cycle is a cycle containing a vertex of $S$. We provide an example $G$ on $21$ vertices where $G$ has no two vertex-disjoint $S$-cycles, but three vertices are not sufficient to hit all $S$-cycles. On the other hand, we show that four vertices are enough to hit all $S$-cycles whenever a graph has no two vertex-disjoint $S$-cycles.

中文翻译：

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没有两个顶点不相交的 S 循环的图

Lovasz (1965) 描述了没有两个顶点不相交循环的图，这意味着此类图最多有三个顶点击中所有循环。在本文中，我们询问当图没有两个顶点不相交的 $S$-cycles 时，$S$-cycles 是否存在如此小的命中集。对于图 $G$ 和 $G$ 的顶点集 $S$，$S$-cycle 是包含 $S$ 顶点的循环。我们在 $21$ 顶点上提供了一个示例 $G$，其中 $G$ 没有两个顶点不相交的 $S$ 循环，但是三个顶点不足以击中所有 $S$ 循环。另一方面，我们证明，只要图没有两个顶点不相交的 $S$ 循环，四个顶点就足以击中所有 $S$ 循环。