Let $X$ be an algebraic variety over $\mathbb{C}$. We say that $X$ is Borel hyperbolic if, for every finite type reduced scheme $S$ over $\mathbb{C}$, every holomorphic map $S^{an}\to X^{an}$ is algebraic. We use a transcendental specialization technique to prove that $X$ is Borel hyperbolic if and only if, for every smooth affine curve $C$ over $\mathbb{C}$, every holomorphic map $C^{an}\to X^{an}$ is algebraic. We use the latter result to prove that Borel hyperbolicity shares many common features with other notions of hyperbolicity such as Kobayashi hyperbolicity.

中文翻译：

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解析映射到双曲线变体的代数性

令 $X$ 是 $\mathbb{C}$ 上的一个代数变体。如果对于 $\mathbb{C}$ 上的每个有限类型简化方案 $S$，每个全纯映射 $S^{an}\to X^{an}$ 都是代数的，我们就说 $X$ 是 Borel 双曲线的。我们使用先验特化技术来证明 $X$ 是 Borel 双曲的当且仅当对于 $\mathbb{C}$ 上的每个平滑仿射曲线 $C$，每个全纯映射 $C^{an}\to X^ {an}$ 是代数的。我们使用后一个结果来证明 Borel 双曲性与其他双曲性概念（例如 Kobayashi 双曲性）具有许多共同特征。