In this paper we study $4$-dimensional affine hypersurfaces with a Lorentzian second fundamental form additionally equipped with an almost symplectic structure $\omega$. We prove that the rank of the shape operator is at most one if $R^k\cdot \omega=0$ or $\nabla^k\omega=0$ for some positive integer $k$. This result is the final step in a classification of Lorentzian affine hypersurfaces with higher order parallel almost symplectic forms.

中文翻译：

---

在具有近辛形式的 4 维洛伦兹仿射超曲面上

在本文中，我们研究了具有洛伦兹第二基本形式的 $4$ 维仿射超曲面，此外还配备了几乎辛结构 $\omega$。我们证明，对于某个正整数 $k$，如果 $R^k\cdot\omega=0$ 或 $\nabla^k\omega=0$，则形状算子的秩至多为 1。该结果是对具有高阶平行几乎辛形式的洛伦兹仿射超曲面进行分类的最后一步。