In this paper, we obtain a vertical–horizontal decomposition formula of Laplacians on manifolds with a special foliation structure. Two Nomizu-type theorems for cohomologies of nilmanifolds follow as applications.

中文翻译：

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拉普拉斯算子的垂直-水平分解和具有平凡切线束的流形的同调

在本文中，我们获得了具有特殊叶状结构的流形上拉普拉斯算子的垂直-水平分解公式。继应用了有关Ninianifold的同调性的两个Nomizu型定理之后。