Let $M$ be a semi‐finite von Neumann algebra with normal state space $\mathfrak{S}(M)$. For any $\varphi \in \mathfrak{S}(M)$, let $M_{\varphi }:=\{x\in M:x\varphi =\varphi x\}$ be the centralizer of $\varphi$ with center $\mathcal{Z}(M_{\varphi })$. We show that for $\varphi ,\psi \in \mathfrak{S}(M)$, the following are equivalent.

• $\varphi =\psi$.
• $\mathcal{Z}(M_{\psi })\subseteq \mathcal{Z}(M_{\varphi })$ and ${\varphi |}_{\mathcal{Z}(M_{\varphi })}{=\psi |}_{\mathcal{Z}(M_{\varphi })}$.
• $\varphi ,\psi$ have the same distances to all the closed faces of $\mathfrak{S}(M)$.

中文翻译：

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正常状态取决于他们的面部距离

让 $\mathrm{中号}$ 是具有正态空间的半有限冯诺依曼代数 $\mathfrak{小号}（\mathrm{中号}）$。对于任何$\varphi \in \mathfrak{小号}（\mathrm{中号}）$，让 ${\mathrm{中号}}_{\varphi }：=\{X\in \mathrm{中号}：X\varphi =\varphi X\}$ 成为...的核心 $\varphi$ 带中心 $\mathcal{ž}（{\mathrm{中号}}_{\varphi }）$。我们证明了$\varphi ，\psi \in \mathfrak{小号}（\mathrm{中号}）$，以下等效。

• $\varphi =\psi$。
• $\mathcal{ž}（{\mathrm{中号}}_{\psi }）\subseteq \mathcal{ž}（{\mathrm{中号}}_{\varphi }）$ 和 ${\varphi |}_{\mathcal{ž}（{\mathrm{中号}}_{\varphi }）}{=\psi |}_{\mathcal{ž}（{\mathrm{中号}}_{\varphi }）}$。
• $\varphi ，\psi$ 与的所有闭合面都具有相同的距离 $\mathfrak{小号}（\mathrm{中号}）$。