We study the constraint minimization problem related to the Gross–Pitaevskii functional with a higher order interaction

$$I_a^{\delta }:=\inf \left\{E_a^{\delta }(\varphi ):\varphi \in \mathcal{H}({\mathbb{R}}^2),\Vert \varphi {\Vert }_{L^2}^2=1\right\},$$

where δ>0,a>0,

$$E_a^{\delta }(\varphi ):={\int }_{{\mathbb{R}}^2}|\nabla \varphi {|}^{2}dx+{\int }_{{\mathbb{R}}^2}V|\varphi {|}^{2}dx+\frac{\delta }{2}{\int }_{{\mathbb{R}}^2}|\nabla (|\varphi {|}^2){|}^{2}dx-\frac{a}{2}{\int }_{{\mathbb{R}}^2}|\varphi {|}^{4}dx$$

and V is a continuous periodic potential. Thanks to the concentration‐compactness principle, we show the existence of minimizers for $I_a^{\delta }$ with $a\ge a^{*}:=\Vert Q{\Vert }_{L^2}^2$ and δ sufficiently small, where Q is the unique positive radial solution to

$$-\mathrm{\Delta }Q+Q-Q^3=0.$$

The blow‐up behaviors of minimizers for $I_a^{\delta }$ as δ↘0 are described in details with an additional assumption on the external potential in the case a=a^*.

中文翻译：

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具有高阶相互作用的Gross–Pitaevskii函数驻波的存在和爆破行为

我们研究了与高阶相互作用的Gross-Pitaevskii函数有关的约束最小化问题

$${\mathrm{一世}}_{\mathrm{一种}}^{\delta }：=\mathrm{信息}\left\{{Ë}_{\mathrm{一种}}^{\delta }（\varphi ）：\varphi \in \mathcal{H}（{\mathbb{[R}}^2），\Vert \varphi {\Vert }_{{\mathrm{大号}}^2}^2=\mathrm{1个}\right\}，$$

其中δ > 0，一> 0，

$${Ë}_{\mathrm{一种}}^{\delta }（\varphi ）：={\int }_{{\mathbb{[R}}^2}|\nabla \varphi {|}^{2}dX+{\int }_{{\mathbb{[R}}^2}V|\varphi {|}^{2}dX+\frac{\delta }{2}{\int }_{{\mathbb{[R}}^2}|\nabla （|\varphi {|}^2）{|}^{2}dX-\frac{\mathrm{一种}}{2}{\int }_{{\mathbb{[R}}^2}|\varphi {|}^{4}dX$$

和V是一个连续的周期性电势。多亏了浓度紧凑原理，我们证明了存在最小化${\mathrm{一世}}_{\mathrm{一种}}^{\delta }$ 与 $\mathrm{一种}\ge {\mathrm{一种}}^{*}：=\Vert 问{\Vert }_{{\mathrm{大号}}^2}^2$和δ足够小，其中Q是

$$-\mathrm{\Delta }问+问-{问}^3=0。$$

最小化器的爆破行为 ${\mathrm{一世}}_{\mathrm{一种}}^{\delta }$如δ ↘0在细节与另外的假设上的外部电势的情况下描述的一个=一个^*。