We consider natural variants of Lehmer's unresolved conjecture that Ramanujan's tau-function never vanishes. Namely, for $n>1$ we prove that$\tau (n)\notin \{\pm 1,\pm 3,\pm 5,\pm 7,\pm 691\}.$ This result is an example of general theorems (see Theorems 1.2 and 1.3 of [2]) for newforms with trivial mod 2 residual Galois representation. Ramanujan's well-known congruences for $\tau (n)$ allow for the simplified proof in these special cases. We make use of the theory of Lucas sequences, the Chabauty–Coleman method for hyperelliptic curves, and facts about certain Thue equations.

中文翻译：

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拉马努金 tau 函数的 Lehmer 猜想的变体

我们考虑了 Lehmer 的未解决猜想的自然变体，即 Ramanujan 的 tau 函数永远不会消失。即，对于$n>1$我们证明$\tau (n)\notin \{\pm 1,\pm 3,\pm 5,\pm 7,\pm 691\}.$该结果是具有平凡 mod 2 残差 Galois 表示的新形式的一般定理示例（参见 [2] 的定理 1.2 和 1.3）。拉马努金的著名同余$\tau (n)$在这些特殊情况下允许简化证明。我们利用了卢卡斯序列理论、超椭圆曲线的 Chabauty-Coleman 方法以及有关某些 Thue 方程的事实。