Let $X$ be a finite set with $v$ elements, called points and $\beta$ be a family of subsets of $X$, called blocks. A pair $\left(X,\beta \right)$ is called $\lambda$‐design whenever $\mid \beta \mid =\mid X\mid$ and

• 1. for all $B_i,B_j\in \beta ,i\ne j,\mid B_i\cap B_j\mid =\lambda$;
• 2. for all $B_j\in \beta ,\mid B_j\mid =k_j>\lambda$, and not all $k_j$ are equal.

The only known examples of $\lambda$‐designs are so‐called type‐1 designs, which are obtained from symmetric designs by a certain complementation procedure. Ryser and Woodall had independently conjectured that all $\lambda$‐designs are type‐1. Let $r,r^{*}(r>r^{*})$ be replication numbers of a $\lambda$‐design $D=\left(X,\beta \right)$ and $g=\text{gcd}\left(r-1,r^{*}-1\right),m=\text{gcd}\left(\left(r-r^{*}\right)∕g,\lambda \right)$, and $m\prime =m$, if $m$ is odd and $m\prime =m∕2$, otherwise. For distinct points $x$ and $y$ of $D$, let $\lambda \left(x,y\right)$ denote the number of blocks of $X$ containing $x$ and $y$. We strengthen a lemma of S.S. Shrikhande and N.M. Singhi and use it to prove that if $\frac{r\left(r-1\right)}{\left(v-1\right)}-\frac{k\left(r-r^{*}\right)}{m\prime \left(v-1\right)}$ are not integers for $k=1,2,\text{…},m\prime -1$, then $D$ is type‐1. As an application of these results, we show that for fixed positive integer $\theta$ there are finitely many nontype‐1 $\lambda$‐designs with $r=r^{*}+\theta$. If $r-r^{*}=27$ or $r-r^{*}=4p$ and $r^{*}\ne {\left(p-1\right)}^2$, or $v=7p+1$ such that $p\not\equiv 1,13\left(\mathrm{mod}21\right)$ and $p\not\equiv 4,9,19,24\left(\mathrm{mod}35\right)$, where $p$ is a positive prime, then $D$ is type‐1. We further obtain several inequalities involving $\lambda (x,y)$, where equality holds if and only if D is type‐1.

中文翻译：

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类型1λ设计的异常和特征化结果

让 $X$ 与 $v$ 元素，称为点和 $\beta$ 是...的子集的家庭 $X$，称为方块。一双$（X，\beta ）$ 叫做 $\lambda$随时设计 $\mid \beta \mid =\mid X\mid$ 和

• 1. 所有人${乙}_{\mathrm{一世}}，{乙}_{Ĵ}\in \beta ，\mathrm{一世}\ne Ĵ，\mid {乙}_{\mathrm{一世}}\cap {乙}_{Ĵ}\mid =\lambda$;
• 2. 所有人${乙}_{Ĵ}\in \beta ，\mid {乙}_{Ĵ}\mid ={ķ}_{Ĵ}>\lambda$，而不是全部 ${ķ}_{Ĵ}$ 相等。

唯一已知的例子 $\lambda$设计是所谓的1类设计，它是通过某种补充程序从对称设计中获得的。Ryser和Woodall独立推测$\lambda$设计是类型1。让$\mathrm{[R}，{\mathrm{[R}}^{*}（\mathrm{[R}>{\mathrm{[R}}^{*}）$ 是一个的复制号 $\lambda$-设计 $d=（X，\beta ）$ 和 $G=\text{光盘}（\mathrm{[R}-\mathrm{1个}，{\mathrm{[R}}^{*}-\mathrm{1个}），米=\text{光盘}（（\mathrm{[R}-{\mathrm{[R}}^{*}）∕G，\lambda ）$和 $米\prime =米$如果 $米$ 是奇数 $米\prime =米∕2$， 除此以外。对于不同点$X$ 和 $ÿ$ 的 $d$，让 $\lambda （X，ÿ）$ 表示的块数 $X$ 包含 $X$ 和 $ÿ$。我们加强了SS Shrikhande和NM Singhi的引理，并用它证明了$\frac{\mathrm{[R}（\mathrm{[R}-\mathrm{1个}）}{（v-\mathrm{1个}）}-\frac{ķ（\mathrm{[R}-{\mathrm{[R}}^{*}）}{米\prime （v-\mathrm{1个}）}$ 不是整数 $ķ=\mathrm{1个}，2，\text{…}，米\prime -\mathrm{1个}$， 然后 $d$是类型1。作为这些结果的应用，我们表明对于固定正整数$\theta$ 非类型1的数量有限 $\lambda$-设计 $\mathrm{[R}={\mathrm{[R}}^{*}+\theta$。如果$\mathrm{[R}-{\mathrm{[R}}^{*}=27$ 要么 $\mathrm{[R}-{\mathrm{[R}}^{*}=4p$ 和 ${\mathrm{[R}}^{*}\ne {（p-\mathrm{1个}）}^2$， 要么 $v=7p+\mathrm{1个}$ 这样 $p\not\equiv \mathrm{1个}，13（模21）$ 和 $p\not\equiv 4，9，19，24（模35）$，在哪里 $p$ 是一个正素数，那么 $d$是类型1。我们进一步获得了涉及$\lambda （X，ÿ）$，当且仅当D为type-1时，等式成立。