This study examines the finite $F$-representation type (abbr. FFRT) property of a two-dimensional normal graded ring $R$ in characteristic $p>0$, using notions from the theory of algebraic stacks. Given a graded ring $R$, we consider an orbifold curve $\mathfrak C$, which is a root stack over the smooth curve $C=\text{Proj} R$, such that $R$ is the section ring associated with a line bundle $L$ on $\mathfrak C$. The FFRT property of $R$ is then rephrased with respect to the Frobenius push-forwards $F^e_*(L^i)$ on the orbifold curve $\mathfrak C$. As a result, we see that if the singularity of $R$ is not log terminal, then $R$ has FFRT only in exceptional cases where the characteristic $p$ divides a weight of $\mathfrak C$.

中文翻译：

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二维正态梯度环和轨道曲线的 FFRT 特性

本研究使用代数堆栈理论中的概念，检查特征 $p>0$ 中二维正态分级环 $R$ 的有限 $F$-表示类型（缩写为 FFRT）属性。给定一个分级环 $R$，我们考虑一个 orbifold 曲线 $\mathfrak C$，它是平滑曲线 $C=\text{Proj} R$ 上的根堆栈，使得 $R$ 是与$\mathfrak C$ 上的线束 $L$。$R$ 的 FFRT 属性然后相对于轨道曲线 $\mathfrak C$ 上的 Frobenius 推进 $F^e_*(L^i)$ 重新表述。结果，我们看到，如果 $R$ 的奇点不是 log 终端，那么 $R$ 仅在特征 $p$ 除以 $\mathfrak C$ 的权重的特殊情况下才具有 FFRT。