In this paper, we study some ternary Diophantine equations of the form \(Aa^n+Bb^n=Cc^m\), where \(m \in \{2,3\} \), and \(n\geqslant 7 \) is a prime. In fact, we completely solve some particular cases: \(A=5^{\alpha }, ~B=64,~ C=3\), when \(m=2\); \(A=2^{\alpha },~ B=27, ~C \in \{7,13\}\), when \(m=3\).

中文翻译：

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关于签名（p，p，k）的三元Diophantine方程。

在本文中，我们研究了\（Aa ^ n + Bb ^ n = Cc ^ m \）形式的三元Diophantine方程，其中\（m \ in \ {2,3 \} \）和\（n \ geqslant 7 \）是素数。实际上，我们完全解决了一些特殊情况：\（A = 5 ^ {\ alpha}，〜B = 64，〜C = 3 \），当\（m = 2 \）时；\（A = 2 ^ {\\ alpha}，〜B = 27，〜C \ in \ {7,13 \} \），当\（m = 3 \）时。