The Cartan formula encodes the relationship between the cup product and the action of the Steenrod algebra in $\mathbb F_p$-cohomology. In this work, we present an effective proof of the Cartan formula at the cochain level when the field is $\mathbb F_2$. More explicitly, for an arbitrary pair of cocycles and any non-negative integer, we construct a natural coboundary that descends to the associated instance of the Cartan formula. Our construction works for general algebras over the Barratt-Eccles operad, in particular, for the singular cochains of spaces.

中文翻译：

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嘉当公式的一个有效证明：偶素数

Cartan 公式将杯积与 Steenrod 代数作用之间的关系编码为 $\mathbb F_p$-上同调。在这项工作中，当字段为 $\mathbb F_2$ 时，我们在 cochain 级别提出了 Cartan 公式的有效证明。更明确地说，对于任意一对共环和任何非负整数，我们构造了一个自然共边界，该共边界下降到嘉当公式的相关实例。我们的构造适用于 Barratt-Eccles 操作数上的一般代数，特别是空间的奇异 cochains。