Kaplansky introduced the notions of CCR and GCR $C^*$-algebras because they have a tractable representation theory. Many years later, he introduced the notions of CCR and GCR rings. In this paper we characterize when the algebra of an ample groupoid over a field is CCR and GCR. The results turn out to be exact analogues of the corresponding characterization of locally compact groupoids with CCR and GCR $C^*$-algebras. As a consequence, we classify the CCR and GCR Leavitt path algebras.

中文翻译：

---

GCR 和 CCR 斯坦伯格代数

Kaplansky 引入了 CCR 和 GCR $C^*$-代数的概念，因为它们具有易于处理的表示理论。许多年后，他介绍了 CCR 和 GCR 环的概念。在本文中，我们刻画了一个域上的充足 groupoid 的代数是 CCR 和 GCR。结果证明是具有 CCR 和 GCR $C^*$-代数的局部紧群群的相应表征的精确类似物。因此，我们对 CCR 和 GCR Leavitt 路径代数进行了分类。