Let ε be an algebraic unit of the degree n ⩾ 3. Assume that the extension ℚ( ε )/ℚ is Galois. We would like to determine when the order ℤ[ε] of ℚ( ε ) is Gal(ℚ( ε )/ℚ)-invariant, i.e. when the n complex conjugates ε 1 , …, ε n of ε are in ℤ[ ε ], which amounts to asking that ℤ[ ε 1 , …, ε n ] = ℤ[ ε ], i.e., that these two orders of ℚ( ε ) have the same discriminant. This problem has been solved only for n = 3 by using an explicit formula for the discriminant of the order ℤ[ ε 1 , ε 2 , ε 3 ]. However, there is no known similar formula for n > 3. In the present paper, we put forward and motivate three conjectures for the solution to this determination for n = 4 (two possible Galois groups) and n = 5 (one possible Galois group). In particular, we conjecture that there are only finitely many cyclic quartic and quintic Galois-invariant orders generated by an algebraic unit. As a consequence of our work, we found a parametrized family of monic quartic polynomials in ℤ[ X ] whose roots ε generate bicyclic biquadratic extensions ℚ( ε )/ℚ for which the order ℤ[ ε ] is Gal(ℚ( ε )/ℚ)-invariant and for which a system of fundamental units of ℤ[ ε ] is known. According to the present work it should be difficult to find other similar families than this one and the family of the simplest cubic fields.

中文翻译：

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什么时候由三次、四次或五次代数单元生成的阶伽罗瓦不变量：三个猜想

令ε 是n ⩾ 3 次的代数单位。假设扩展ℚ( ε )/ℚ 是伽罗瓦。我们想确定ℚ( ε ) 的阶ℤ[ε] 何时是Gal(ℚ( ε )/ℚ)-不变量，即当ε 的n 个复共轭ε 1 , …, ε n 处于ℤ[ ε ]，这就等于要求 ℤ[ ε 1 , …, ε n ] = ℤ[ ε ]，即 ℚ( ε ) 的这两个阶具有相同的判别式。这个问题仅在 n = 3 时通过使用阶 ℤ[ ε 1 , ε 2 , ε 3 ] 的判别式的显式公式得到解决。然而，对于 n > 3，没有已知的类似公式。在本文中，我们提出并激发了三个猜想来解决这个确定的 n = 4（两个可能的伽罗瓦群）和 n = 5（一个可能的伽罗瓦群） ）。特别是，我们推测，由一个代数单元生成的循环四次和五次伽罗瓦不变阶只有有限多个。作为我们工作的结果，我们在 ℤ[ X ] 中发现了一个参数化的一元四次多项式族，其根 ε 生成双环双二次扩展 ℚ( ε )/ℚ，其阶 ℤ[ ε ] 是 Gal(ℚ( ε )/ ℚ)-不变量，并且对于它，ℤ[ ε ] 的基本单位系统是已知的。根据目前的工作，除了这个家族和最简单的三次域家族之外，应该很难找到其他类似的家族。我们在 ℤ[ X ] 中发现了一个参数化的一元四次多项式族，其根 ε 生成双环双二次扩展 ℚ( ε )/ℚ ，其阶 ℤ[ ε ] 是 Gal(ℚ( ε )/ℚ)-不变量，并且对于ℤ[ ε ] 的基本单位系统是已知的。根据目前的工作，除了这个家族和最简单的三次域家族之外，应该很难找到其他类似的家族。我们在 ℤ[ X ] 中发现了一个参数化的一元四次多项式族，其根 ε 生成双环双二次扩展 ℚ( ε )/ℚ ，其阶 ℤ[ ε ] 是 Gal(ℚ( ε )/ℚ)-不变量，并且对于ℤ[ ε ] 的基本单位系统是已知的。根据目前的工作，除了这个家族和最简单的三次域家族之外，应该很难找到其他类似的家族。