Let p be a prime not dividing the integer n. By an Ihara result, we mean existence of a cokernel torsion-free injection from a full lattice in the space of p-old modular forms into a full lattice in the space of all modular forms of level pn. In this paper, we will prove an Ihara result in the number field case, for Siegel modular forms. The case of elliptic modular forms is discussed in Ihara (Discrete subgroups of Lie groups and applications to moduli, Oxford University Press, Bombay, 1975). We will use a geometric formulation for the notion of p-old Siegel modular forms (Rastegar in BIMS 43(7):1–23, 2017). Then, we apply an argument by Pappas, and prove the Ihara result using density of Hecke orbits (Chai in Invent Math 121(3):439–479, 1995). This result is meant to pave the way for modularity results in higher genera.

中文翻译：

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Siegel模块化形式的Ihara型结果

令p为不除整数n的素数。通过Ihara结果，我们的意思是存在从p- old模块化形式的空间中的完整晶格到pn级所有模块化形式的空间中的完整晶格的无核扭曲注入。在本文中，我们将证明在Siegel模块化形式的数字字段情况下的Ihara结果。椭圆形模块形式的情况在Ihara（Lie组的离散子组及其对模的应用，牛津大学出版社，孟买，1975年）中进行了讨论。我们将对p的概念使用几何公式旧的Siegel模块化表格（BIMS 43（7）：1-23中的Rastegar，2017年）。然后，我们应用Pappas的论点，并使用Hecke轨道的密度证明Ihara结果（Chai in Invent Math 121（3）：439–479，1995）。该结果旨在为更高种类的模块化结果铺平道路。