We address the following natural but hitherto unstudied question: what are the possible linear extension numbers of an $n$-element poset? Let $\mathbf{LE}(n)$ denote the set of all positive integers that arise as the number of linear extensions of some $n$-element poset. We show that $\mathbf{LE}(n)$ skews towards the "small" end of the interval $[1,n!]$. More specifically, $\mathbf{LE}(n)$ contains all of the positive integers up to $\exp\left(c\frac{n}{\log n}\right)$ for some absolute constant $c$, and $|\mathbf{LE}(n) \cap ((n-1)!,n!]|<(n-3)!$. The proof of the former statement involves some intermediate number-theoretic results about the Stern-Brocot tree that are of independent interest.

中文翻译：

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n 元位姿的线性扩展数

我们解决了以下自然但迄今为止尚未研究的问题：$n$ 元素poset 的可能线性扩展数是多少？让 $\mathbf{LE}(n)$ 表示所有正整数的集合，这些正整数作为某个 $n$ 元素poset 的线性扩展的数量出现。我们表明 $\mathbf{LE}(n)$ 向区间 $[1,n!]$ 的“小”端倾斜。更具体地说，对于某些绝对常数 $c$，$\mathbf{LE}(n)$ 包含直到 $\exp\left(c\frac{n}{\log n}\right)$ 的所有正整数，和 $|\mathbf{LE}(n) \cap ((n-1)!,n!]|<(n-3)!$。前一个陈述的证明涉及一些关于 Stern 的中间数论结果- 具有独立利益的 Brocot 树。