Mark and Paupert devised a general method for obtaining presentations for arithmetic non-cocompact lattices, $$\Gamma $$ Γ , in isometry groups of negatively curved symmetric spaces. The method involves a classical theorem of Macbeath applied to a $$\Gamma $$ Γ -invariant covering by horoballs of the negatively curved symmetric space upon which $$\Gamma $$ Γ acts. In this paper, we will discuss the application of their method to the Picard modular groups, PU $$(2,1;{\mathcal {O}}_{d})$$ ( 2 , 1 ; O d ) , when $$d=2,11$$ d = 2 , 11 , and obtain presentations for these groups, which completes the list of presentations for Picard modular groups whose entries lie in Euclidean domains, namely those with $$d=1,2,3,7,11$$ d = 1 , 2 , 3 , 7 , 11 .

中文翻译：

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欧几里得皮卡德模块组的演示

Mark 和 Paupert 设计了一种通用方法，用于在负弯曲对称空间的等距群中获得算术非共紧格 $$\Gamma $$ Γ 的表示。该方法涉及将 Macbeath 的经典定理应用于 $$\Gamma $$ Γ 不变的覆盖，该覆盖由负弯曲对称空间的 horoballs 构成，$$\Gamma $$ Γ 作用于该空间。在本文中，我们将讨论他们的方法在 Picard 模群 PU $$(2,1;{\mathcal {O}}_{d})$$ ( 2 , 1 ; O d ) 中的应用，当$$d=2,11$$ d = 2 , 11 ，并获得这些群的表示，这完成了条目位于欧几里德域中的 Picard 模群的表示列表，即具有 $$d=1,2 的群， 3,7,11$$ d = 1 , 2 , 3 , 7 , 11 。