Under real market conditions, there exist many cases when it is inevitable to adopt numerical approximations of option prices due to non-existence of analytical formulae. Obviously, any numerical technique should be tested for the cases when the analytical solution is well known. The paper is devoted to the discontinuous Galerkin method applied to European option pricing under the Merton jump-diffusion model, when the evolution of the asset prices is driven by a Levy process with finite activity. The valuation of options under such a model with lognormally distributed jumps requires solving a parabolic partial integro-differential equation which involves both the integrals and the derivatives of the unknown pricing function. The integral term related to jumps leads to new theoretical and numerical issues regarding the solving of the pricing equation in comparison with the standard approach for the Black-Scholes equation. Here we adopt the idea of the relatively modern technique that the integral terms in Merton-type models can be viewed as solutions of proper differential equations, which can be accurately solved in a simple way. For practical purposes of numerical pricing of options in such models we propose a two-stage implicit-explicit scheme arising from the discontinuous piecewise polynomial approximation, i.e., the discontinuous Galerkin method. This solution procedure is accompanied with theoretical results and discussed within the numerical results on reference benchmarks.

中文翻译：

---

默顿跳跃扩散模型下欧式期权定价的 DG 方法

在真实的市场条件下，很多情况下，由于不存在解析公式而不可避免地采用期权价格的数值近似。显然，任何数值技术都应该针对解析解众所周知的情况进行测试。本文致力于在默顿跳跃扩散模型下应用于欧式期权定价的不连续 Galerkin 方法，当资产价格的演变由具有有限活动的 Levy 过程驱动时。在这种具有对数正态分布跳跃的模型下对期权进行估值需要求解抛物线偏积分微分方程，该方程涉及未知定价函数的积分和导数。与用于 Black-Scholes 方程的标准方法相比，与跳跃相关的积分项导致关于定价方程求解的新理论和数值问题。这里我们采用相对现代的技术思想，即默顿型模型中的积分项可以看作是适当微分方程的解，可以用简单的方法精确求解。为了在此类模型中对期权进行数值定价的实际目的，我们提出了一种由不连续分段多项式近似产生的两阶段隐式-显式方案，即不连续 Galerkin 方法。该求解过程伴随着理论结果，并在参考基准的数值结果中进行了讨论。这里我们采用相对现代的技术思想，即默顿型模型中的积分项可以看作是适当微分方程的解，可以用简单的方法精确求解。为了在此类模型中对期权进行数值定价的实际目的，我们提出了一种由不连续分段多项式近似产生的两阶段隐式-显式方案，即不连续 Galerkin 方法。该求解过程伴随着理论结果，并在参考基准的数值结果中进行了讨论。这里我们采用相对现代的技术思想，即默顿型模型中的积分项可以看作是适当微分方程的解，可以用简单的方法精确求解。为了在此类模型中对期权进行数值定价的实际目的，我们提出了一种由不连续分段多项式近似产生的两阶段隐式-显式方案，即不连续 Galerkin 方法。该求解过程伴随着理论结果，并在参考基准的数值结果中进行了讨论。为了在此类模型中对期权进行数值定价的实际目的，我们提出了一种由不连续分段多项式近似产生的两阶段隐式-显式方案，即不连续 Galerkin 方法。该求解过程伴随着理论结果，并在参考基准的数值结果中进行了讨论。为了在此类模型中对期权进行数值定价的实际目的，我们提出了一种由不连续分段多项式近似产生的两阶段隐式-显式方案，即不连续 Galerkin 方法。该求解过程伴随着理论结果，并在参考基准的数值结果中进行了讨论。