It is proved that the ordinal ω1cannot be embedded into a preordering Σ-definable with parameters in the hereditarily finite superstructure over the real numbers. As a corollary, we obtain the descriptions of ordinals Σ-presentable over$$ \mathbb{H}\mathbbm{F} $$(ℝ) and of Godel constructive sets of the form Lα. It is also shown that there are no Σ-presentations of structures of T-, m-, 1- and tt-degrees.

中文翻译：

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ℍF$$ \mathbb{H}\mathbbm{F} $$(ℝ) 中的Σ-预排序

已证明序数 ω1 不能嵌入到可在实数上的遗传有限上层结构中用参数定义的预排序 Σ 中。作为推论，我们获得了对$$\mathbb{H}\mathbbm{F} $$(ℝ) 的序数 Σ-可表示的描述和 Lα 形式的哥德尔构造集。还表明，没有 T-、m-、1-和 tt-度结构的 Σ-表示。