Let p be a prime, q be a power of p , and let F q be the field of q elements. For any positive integer n , the Wenger graph W n(q) is defined as follows: it is a bipartite graph with the vertex partitions being two copies of the ( n + 1)-dimensional vector space $$\mathbb{F}_q^{n+1}$$ F q n + 1 , and two vertices p = ( p (1),..., p ( n +1)) and l = [ l (1),..., l ( n +1)] being adjacent if p +1( i ) = p (1) l (1) i −1 , for all i = 2, 3, …, n + 1. In 2008, Shao, He and Shan showed that for n ≥ 2, W n (q) contains a cycle of length 2 k where 4 ≤ k ≤ 2 p and k ≠ 5. In this paper we extend their results by showing that (i) for n ≥ 2 and p ≥ 3, W n ( q ) contains cycles of length 2 k , where 4 ≤ k ≤ 4 p + 1 and k ≠ 5 (ii) for q ≥ 5, 0 < c < 1, and every integer k , 3 ≤ k ≤ q c , if 1 < n ≤ (1 − c − $$\frac{7}{3}$$ 7 3 log q 2) k − 1, then W n (q) contains a 2 k -cycle. In particular, W n ( q ) contains cycles of length 2 k , where n + 2 ≤ k ≤ q c , provided q is sufficiently large.

中文翻译：

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关于温格图中的一些循环

令 p 为素数，q 为 p 的幂，并令 F q 为 q 个元素的域。对于任何正整数 n ，温格图 W n(q) 定义如下：它是一个二部图，顶点分区是 (n + 1) 维向量空间 $$\mathbb{F}_q 的两个副本^{n+1}$$ F qn + 1 和两个顶点 p = ( p (1),..., p ( n +1)) 和 l = [ l (1),..., l ( n +1)] 相邻，如果 p +1( i ) = p (1) l (1) i −1 ，对于所有 i = 2, 3, …, n + 1。2008 年，Shao、He 和 Shan 表明对于 n ≥ 2，W n (q) 包含一个长度为 2 k 的循环，其中 4 ≤ k ≤ 2 p 且 k ≠ 5。在本文中，我们通过证明 (i) for n ≥ 2 和 p ≥ 3，W n ( q ) 包含长度为 2 k 的循环，其中 4 ≤ k ≤ 4 p + 1 且 k ≠ 5 (ii) 对于 q ≥ 5, 0 < c < 1, 并且每个整数 k , 3 ≤ k ≤ qc ，如果 1 < n ≤ (1 − c − $$\frac{7}{3}$$ 7 3 log q 2) k − 1，那么 W n (q) 包含一个 2 k 循环。特别地，W n ( q ) 包含长度为 2 k 的循环，其中 n + 2 ≤ k ≤ qc ，前提是 q 足够大。