Let $Y$ be a metrizable space containing at least two points, and let $X$ be a $Y_{\mathcal{I}}$-Tychonoff space for some ideal $\mathcal{I}$ of compact sets of $X$. Denote by $C_{\mathcal{I}}(X,Y)$ the space of continuous functions from $X$ to $Y$ endowed with the $\mathcal{I}$-open topology. We prove that $C_{\mathcal{I}}(X,Y)$ is Frechet - Urysohn iff $X$ has the property $\gamma_{\mathcal{I}}$. We characterize zero - dimensional Tychonoff spaces $X$ for which the space $C_{\mathcal{I}}(X,{\bf 2})$ is sequential. Extending the classical theorems of Gerlits, Nagy and Pytkeev we show that if $Y$ is not compact, then $C_{p}(X,Y)$ is Frechet - Urysohn iff it is sequential iff it is a $k$-space iff $X$ has the property $\gamma$. An analogous result is obtained for the space of bounded continuous functions taking values in a metrizable locally convex space. Denote by $B_{1}(X,Y)$ and $B(X,Y)$ the space of Baire one functions and the space of all Baire functions from $X$ to $Y$, respectively. If $H$ is a subspace of $B(X,Y)$ containing $B_{1}(X,Y)$, then $H$ is metrizable iff it is a $\sigma$ - space iff it has countable $cs^*$ - character iff $X$ is countable. If additionally $Y$ is not compact, then $H$ is Frechet - Urysohn iff it is sequential iff it is a $k$ - space iff it has countable tightness iff $X_{\aleph_0}$ has the property $\gamma$, where $X_{\aleph_0}$ is the space $X$ with the Baire topology. We show that if $X$ is a Polish space, then the space $B_{1}(X,\mathbb{R})$ is normal iff $X$ is countable.

中文翻译：

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一些函数空间的拓扑性质

令 $Y$ 是一个包含至少两个点的可度量空间，并令 $X$ 是一个 $Y_{\mathcal{I}}$-Tychonoff 空间，用于一些理想的 $\mathcal{I}$ $X 的紧致集合$. 用 $C_{\mathcal{I}}(X,Y)$ 表示从 $X$ 到 $Y$ 的连续函数空间，赋予 $\mathcal{I}$-open 拓扑。我们证明 $C_{\mathcal{I}}(X,Y)$ 是 Frechet - Urysohn 且仅当 $X$ 具有 $\gamma_{\mathcal{I}}$ 属性。我们刻画了零维 Tychonoff 空间 $X$，其中空间 $C_{\mathcal{I}}(X,{\bf 2})$ 是连续的。扩展 Gerlits、Nagy 和 Pytkeev 的经典定理，我们证明如果 $Y$ 不是紧致的，那么 $C_{p}(X,Y)$ 是 Frechet - Urysohn iff 它是连续的，如果它是一个 $k$-空间当仅当 $X$ 具有 $\gamma$ 属性。对于在可度量的局部凸空间中取值的有界连续函数的空间，获得了类似的结果。$B_{1}(X,Y)$和$B(X,Y)$分别表示Baire one函数的空间和$X$到$Y$的所有Baire函数的空间。如果 $H$ 是包含 $B_{1}(X,Y)$ 的 $B(X,Y)$ 的子空间，则 $H$ 是可度量的，当它是一个 $\sigma$ - 空间当它有可数 $ cs^*$ - 当 $X$ 是可数字符时。如果另外 $Y$ 不是紧致的，那么 $H$ 是 Frechet - Urysohn 仅当它是连续的，当它是 $k$ - 空间当当它具有可数紧度当当 $X_{\aleph_0}$ 具有 $\gamma$ ，其中 $X_{\aleph_0}$ 是具有 Baire 拓扑的空间 $X$。我们证明，如果 $X$ 是波兰语空间，则空间 $B_{1}(X,\mathbb{R})$ 是正规的，如果 $X$ 是可数的。Y)$分别是Baire one函数的空间和$X$到$Y$的所有Baire函数的空间。如果 $H$ 是包含 $B_{1}(X,Y)$ 的 $B(X,Y)$ 的子空间，则 $H$ 是可度量的，当它是一个 $\sigma$ - 空间当它有可数 $ cs^*$ - 当 $X$ 是可数字符时。如果另外 $Y$ 不是紧致的，那么 $H$ 是 Frechet - Urysohn 仅当它是连续的，当它是 $k$ - 空间当当它具有可数紧度当当 $X_{\aleph_0}$ 具有 $\gamma$ 属性，其中 $X_{\aleph_0}$ 是具有 Baire 拓扑的空间 $X$。我们证明，如果 $X$ 是波兰语空间，则空间 $B_{1}(X,\mathbb{R})$ 是正规的，如果 $X$ 是可数的。Y)$分别是Baire one函数的空间和$X$到$Y$的所有Baire函数的空间。如果 $H$ 是包含 $B_{1}(X,Y)$ 的 $B(X,Y)$ 的子空间，则 $H$ 是可度量的，当它是一个 $\sigma$ - 空间当它有可数 $ cs^*$ - 当 $X$ 是可数字符时。如果另外 $Y$ 不是紧致的，那么 $H$ 是 Frechet - Urysohn 仅当它是连续的，当它是 $k$ - 空间当当它具有可数紧度当当 $X_{\aleph_0}$ 具有 $\gamma$ 属性，其中 $X_{\aleph_0}$ 是具有 Baire 拓扑的空间 $X$。我们证明，如果 $X$ 是波兰语空间，则空间 $B_{1}(X,\mathbb{R})$ 是正规的，如果 $X$ 是可数的。那么 $H$ 是可计量的如果它是一个 $\sigma$ - 空间如果它有可数 $cs^*$ - 字符如果 $X$ 是可数的。如果另外 $Y$ 不是紧致的，那么 $H$ 是 Frechet - Urysohn 仅当它是连续的，当它是 $k$ - 空间当当它具有可数紧度当当 $X_{\aleph_0}$ 具有 $\gamma$ 属性，其中 $X_{\aleph_0}$ 是具有 Baire 拓扑的空间 $X$。我们证明，如果 $X$ 是波兰语空间，则空间 $B_{1}(X,\mathbb{R})$ 是正规的，如果 $X$ 是可数的。那么 $H$ 是可计量的如果它是一个 $\sigma$ - 空间如果它有可数 $cs^*$ - 字符如果 $X$ 是可数的。如果另外 $Y$ 不是紧致的，那么 $H$ 是 Frechet - Urysohn 仅当它是连续的，当它是 $k$ - 空间当当它具有可数紧度当当 $X_{\aleph_0}$ 具有 $\gamma$ 属性，其中 $X_{\aleph_0}$ 是具有 Baire 拓扑的空间 $X$。我们证明，如果 $X$ 是波兰语空间，则空间 $B_{1}(X,\mathbb{R})$ 是正规的，如果 $X$ 是可数的。