Assume the existence of a Fukaya category $\mathrm{Fuk}(X)$ of a compact symplectic manifold $X$ with some expected properties. In this paper, we show $\mathscr{A} \subset \mathrm{Fuk}(X)$ split generates a summand $\mathrm{Fuk}(X)_e \subset \mathrm{Fuk}(X)$ corresponding to an idempotent $e \in QH^\bullet(X)$ if the Mukai pairing of $\mathscr{A}$ is perfect. Moreover we show $HH^\bullet(\mathscr{A}) \cong QH^\bullet(X) e$. As an application we compute the quantum cohomology and the Fukaya category of a blow-up of $\mathbb{C} P^2$ at four points with a monotone symplectic structure.

中文翻译：

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从深谷范畴计算量子上同调

假设存在具有一些预期性质的紧辛流形 $X$ 的 Fukaya 范畴 $\mathrm{Fuk}(X)$。在本文中，我们展示了 $\mathscr{A} \subset \mathrm{Fuk}(X)$ split 生成一个被加数 $\mathrm{Fuk}(X)_e \subset \mathrm{Fuk}(X)$ 对应于如果 $\mathscr{A}$ 的 Mukai 配对是完美的，则为幂等的 $e \in QH^\bullet(X)$。此外，我们显示 $HH^\bullet(\mathscr{A}) \cong QH^\bullet(X) e$。作为一个应用程序，我们在具有单调辛结构的四个点处计算 $\mathbb{C} P^2$ 爆炸的量子上同调和 Fukaya 范畴。