In this paper we consider a final value problem for a diffusion equation with time-space fractional differentiation on a bounded domain $D$ of $ \mathbb{R}^{k}$, $k\ge 1$, which includes the fractional power $\mathcal L^\beta$, $0<\beta\le 1$, of a symmetric uniformly elliptic operator $\mathcal L$ defined on $L^2(D)$. A representation of solutions is given by using the Laplace transform and the spectrum of $\mathcal L^\beta$. We establish some existence and regularity results for our problem in both the linear and nonlinear case.

中文翻译：

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时间分数阶扩散方程终值问题的存在性及规律性

在本文中，我们考虑在 $\mathbb{R}^{k}$, $k\ge 1$ 的有界域 $D$ 上具有时空分数微分的扩散方程的终值问题，其中包括分数定义在 $L^2(D)$ 上的对称一致椭圆算子 $\mathcal L$ 的幂 $\mathcal L^\beta$, $0<\beta\le 1$。通过使用拉普拉斯变换和 $\mathcal L^\beta$ 的谱给出了解的表示。我们在线性和非线性情况下为我们的问题建立了一些存在性和规律性结果。