Let $A$ be an $n\times n$ real expanding matrix and $\mathcal{D}$ be a finite subset of $\mathbb{R}^n$ with $0\in\mathcal{D}$. The family of maps $\{f_d(x)=A^{-1}(x+d)\}_{d\in\mathcal{D}}$ is called a self-affine iterated function system (self-affine IFS). The self-affine set $K=K(A,\mathcal{D})$ is the unique compact set determined by $(A, {\mathcal D})$ satisfying the set-valued equation $K=\displaystyle\bigcup_{d\in\mathcal{D}}f_d(K)$. The number $s=n\,\ln(\# \mathcal{D})/\ln(q)$ with $q=|\det(A)|$, is the so-called pseudo similarity dimension of $K$. As shown by He and Lau, one can associate with $A$ and any number $s\ge 0$ a natural pseudo Hausdorff measure denoted by $\mathcal{H}_w^s.$ In this paper, we show that, if $s$ is chosen to be the pseudo similarity dimension of $K$, then the condition $\mathcal{H}_w^s(K)> 0$ holds if and only if the IFS $\{f_d\}_{d\in\mathcal{D}}$ satisfies the open set condition (OSC). This extends the well-known result for the self-similar case that the OSC is equivalent to $K$ having positive Hausdorff measure $\mathcal{H}^s$ for a suitable $s$. Furthermore, we relate the exact value of pseudo Hausdorff measure $\mathcal{H}_w^s(K)$ to a notion of upper $s$-density with respect to the pseudo norm $w(x)$ associated with $A$ for the measure $\mu=\lim\limits_{M\to\infty}\sum\limits_{d_0,\dotsc,d_{M-1}\in\mathcal{D}}\delta_{d_0 + Ad_1 + \dotsb + A^{M-1}d_{M-1}}$ in the case that $\#\mathcal{D}\le\lvert\det A\rvert$.

中文翻译：

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自仿射 IFS 的开集条件和伪 Hausdorff 测度

设 $A$ 是一个 $n\times n$ 实数扩展矩阵，$\mathcal{D}$ 是 $\mathbb{R}^n$ 的有限子集，其中 $0\in\mathcal{D}$。映射族 $\{f_d(x)=A^{-1}(x+d)\}_{d\in\mathcal{D}}$ 被称为自仿射迭代函数系统（self-affine IFS）。自仿射集 $K=K(A,\mathcal{D})$ 是由 $(A, {\mathcal D})$ 确定的唯一紧集，满足集合值方程 $K=\displaystyle\bigcup_ {d\in\mathcal{D}}f_d(K)$。数$s=n\,\ln(\# \mathcal{D})/\ln(q)$与$q=|\det(A)|$，就是$K的所谓伪相似维数$. 正如 He 和 Lau 所示，人们可以将 $A$ 和任何数字 $s\ge 0$ 关联为一个自然的伪 Hausdorff 测度，用 $\mathcal{H}_w^s.$ 表示。在本文中，我们证明，如果选择$s$作为$K$的伪相似维度，则条件$\mathcal{H}_w^s(K)> 当且仅当 IFS $\{f_d\}_{d\in\mathcal{D}}$ 满足开集条件 (OSC) 时，0$ 才成立。这扩展了自相似情况的众所周知的结果，即 OSC 等价于 $K$ 具有正 Hausdorff 测度 $\mathcal{H}^s$ 对于合适的 $s$。此外，我们将伪豪斯多夫测度 $\mathcal{H}_w^s(K)$ 的精确值与与 $A 相关的伪范数 $w(x)$ 的上 $s$-密度概念相关联$ 用于度量 $\mu=\lim\limits_{M\to\infty}\sum\limits_{d_0,\dotsc,d_{M-1}\in\mathcal{D}}\delta_{d_0 + Ad_1 + \dotsb + A^{M-1}d_{M-1}}$ 在 $\#\mathcal{D}\le\lvert\det A\rvert$ 的情况下。这扩展了自相似情况的众所周知的结果，即 OSC 等价于 $K$ 具有正 Hausdorff 测度 $\mathcal{H}^s$ 对于合适的 $s$。此外，我们将伪豪斯多夫测度 $\mathcal{H}_w^s(K)$ 的精确值与与 $A 相关的伪范数 $w(x)$ 的上 $s$-密度概念相关联$ 用于度量 $\mu=\lim\limits_{M\to\infty}\sum\limits_{d_0,\dotsc,d_{M-1}\in\mathcal{D}}\delta_{d_0 + Ad_1 + \dotsb + A^{M-1}d_{M-1}}$ 在 $\#\mathcal{D}\le\lvert\det A\rvert$ 的情况下。这扩展了自相似情况的众所周知的结果，即 OSC 等价于 $K$ 具有正 Hausdorff 测度 $\mathcal{H}^s$ 对于合适的 $s$。此外，我们将伪豪斯多夫测度 $\mathcal{H}_w^s(K)$ 的精确值与与 $A 相关的伪范数 $w(x)$ 的上 $s$-密度概念相关联$ 用于度量 $\mu=\lim\limits_{M\to\infty}\sum\limits_{d_0,\dotsc,d_{M-1}\in\mathcal{D}}\delta_{d_0 + Ad_1 + \dotsb + A^{M-1}d_{M-1}}$ 在 $\#\mathcal{D}\le\lvert\det A\rvert$ 的情况下。