We give necessary and sufficient conditions for the existence of entire solutions bounded or large of the equation \({\mathcal {L}}u - p\psi (u) =0\), where \({\mathcal {L}}\) is either the Laplace operator on \({\mathbb {R}} ^d\), \(d\ge 3\) or the Laplace–Beltrami operator on the harmonic NA group and p is a function whose oscillation tends to zero at infinity at a specified rate. The results apply to noncompact rank one symmetric spaces.

中文翻译：

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调和NA群和欧氏空间上次线性椭圆问题的整体解。

我们为方程\（{\ mathcal {L}} u-p \ psi（u）= 0 \）的有界或较大的整体解的存在给出了充分必要的条件，其中\（{\ mathcal {L}} \）是\（{\ mathbb {R}} ^ d \），\（d \ ge 3 \）上的Laplace算符，或者是谐波NA组上的Laplace-Beltrami算符，并且p是一个函数，其振荡倾向于以指定速率无穷大为零。结果适用于非紧致的一阶对称空间。