The Poisson–Nernst–Planck–Lennard-Jones (PNP–LJ) model is a mathematical model for ionic solutions with Lennard-Jones interactions between the ions. Due to the singular nature of the Lennard-Jones interaction kernel, however, the PNP–LJ model gives rise to an intractable analytic problem and a highly demanding computational problem. Previous works tackled this problem by replacing the LJ potential with a leading order approximation of the LJ potential giving rise to the steric PNP model. The steric PNP proved to be a successful model for the transport of ions in biological ionic channels. However, in other parameter regimes related to high concentrations, it is ill-posed. Presumably, since the steric PNP model is derived using only a leading-order approximation of the LJ potential. In this study, we go beyond the leading order approximation of the Lennard-Jones (LJ) interaction kernel and develop a new class of steric PNP equations that rely on a high-order approximation of the LJ potential. Surprisingly, we show that the introduction of high-order terms does not regularize the steric PNP model. Namely, at the limit of vanishing ionic sizes, high-order steric PNP equations, at all orders including the PNP–LJ model, are ill-defined at certain parameters regimes. Further analysis shows that this is an inherent property of PNP equations that account for steric effects and is related to pattern formation in these systems.

泊松-能斯特-普朗克-伦纳德-琼斯（PNP-LJ）模型是具有离子之间Lennard-Jones相互作用的离子溶液的数学模型。但是，由于Lennard-Jones交互核的奇异性质，PNP-LJ模型引起了一个棘手的解析问题和一个要求很高的计算问题。以前的工作通过用LJ电势的前导近似代替LJ电势来解决此问题，从而产生了空间PNP模型。事实证明，空间PNP是生物离子通道中离子迁移的成功模型。但是，在与高浓度有关的其他参数方案中，它是不适当的。据推测，由于仅使用LJ电位的前导近似来导出空间PNP模型。在这个研究中，我们超越了Lennard-Jones（LJ）交互核的前导逼近，并开发了依赖于LJ势的高阶逼近的一类新的空间PNP方程。令人惊讶的是，我们表明引入高阶术语并不能使空间PNP模型规则化。即，在消失的离子大小的极限下，在某些参数范围内，包括PNP–LJ模型在内的所有阶数的高阶空间PNP方程都定义不清。进一步的分析表明，这是PNP方程的固有属性，可解释空间效应，并且与这些系统中的图案形成有关。我们表明，引入高阶项并不能使空间PNP模型规则化。即，在消失的离子大小的极限下，在某些参数范围内，包括PNP–LJ模型在内的所有阶数的高阶空间PNP方程都定义不清。进一步的分析表明，这是PNP方程的固有属性，可以解释空间效应，并且与这些系统中的图案形成有关。我们表明，引入高阶项并不能使空间PNP模型规则化。即，在消失的离子大小的极限下，在某些参数范围内，包括PNP–LJ模型在内的所有阶数的高阶空间PNP方程都定义不清。进一步的分析表明，这是PNP方程的固有属性，可以解释空间效应，并且与这些系统中的图案形成有关。