The Conditional Tail Expectation is an indicator of tail behaviour that has recently gained traction in actuarial and financial applications. Contrary to the quantile or Value-at-Risk, it takes into account the frequency of a tail event together with the probabilistic behaviour of the variable of interest on this event. However, the asymptotic normality of the empirical Conditional Tail Expectation estimator requires that the underlying distribution possess a finite variance; this can be a strong restriction in heavy-tailed models which constitute the favoured class of models in actuarial and financial applications. One possible solution in very heavy-tailed models where this assumption fails could be to use the more robust Median Shortfall, but this quantity is actually just a quantile, which therefore only gives information about the frequency of a tail event and not about its typical magnitude. We construct a synthetic class of tail L p −medians, which encompasses the Median Shortfall (for p = 1) and Conditional Tail Expectation (for p = 2). We show that, for 1 < p < 2, a tail L p −median always takes into account both the frequency and magnitude of tail events, and its empirical estimator is, within the range of the data, asymptotically normal under a condition weaker than a finite variance. We extrapolate this estimator, along with another technique, to proper extreme levels using the heavy-tailed framework. The estimators are showcased on a simulation study and on a set of real fire insurance data showing evidence of a very heavy right tail.

中文翻译：

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超越尾中位数和条件尾期望：使用尾 L p 优化的极端风险估计

条件尾部期望是最近在精算和金融应用中受到关注的尾部行为指标。与分位数或风险价值相反，它考虑了尾部事件的频率以及感兴趣的变量对该事件的概率行为。然而，经验条件尾期望估计量的渐近正态性要求基础分布具有有限方差；这对于构成精算和金融应用中受欢迎的模型类别的重尾模型来说可能是一个强有力的限制。在这种假设失败的非常重尾模型中，一种可能的解决方案是使用更稳健的中值差，但这个数量实际上只是一个分位数，因此，它仅提供有关尾事件频率的信息，而不提供有关其典型幅度的信息。我们构建了一个尾 L p -中值的合成类，它包含中值差（对于 p = 1）和条件尾期望（对于 p = 2）。我们表明，对于 1 < p < 2，尾部 L p -median 始终考虑尾部事件的频率和幅度，并且其经验估计量在数据范围内，在弱于以下条件的条件下渐近正态有限方差。我们使用重尾框架将这个估计器和另一种技术外推到适当的极端水平。在模拟研究和一组真实的火灾保险数据中展示了估算器，这些数据显示了右尾很重的证据。我们构建了一个尾 L p -中值的合成类，它包含中值差（对于 p = 1）和条件尾期望（对于 p = 2）。我们表明，对于 1 < p < 2，尾部 L p -median 始终考虑尾部事件的频率和幅度，并且其经验估计量在数据范围内，在弱于以下条件的条件下渐近正态有限方差。我们使用重尾框架将这个估计器和另一种技术外推到适当的极端水平。在模拟研究和一组真实的火灾保险数据中展示了估算器，这些数据显示了右尾很重的证据。我们构建了一个尾 L p -中值的合成类，它包含中值差（对于 p = 1）和条件尾期望（对于 p = 2）。我们表明，对于 1 < p < 2，尾部 L p -median 始终考虑尾部事件的频率和幅度，并且其经验估计量在数据范围内，在弱于以下条件的条件下渐近正态有限方差。我们使用重尾框架将这个估计器和另一种技术外推到适当的极端水平。在模拟研究和一组真实的火灾保险数据中展示了估算器，这些数据显示了右尾很重的证据。a tail L p -median 总是同时考虑尾部事件的频率和幅度，其经验估计量在数据范围内，在弱于有限方差的条件下渐近正态。我们使用重尾框架将这个估计器和另一种技术外推到适当的极端水平。在模拟研究和一组真实的火灾保险数据中展示了估算器，这些数据显示了右尾很重的证据。a tail L p -median 总是同时考虑尾部事件的频率和幅度，其经验估计量在数据范围内，在弱于有限方差的条件下渐近正态。我们使用重尾框架将这个估计器和另一种技术外推到适当的极端水平。在模拟研究和一组真实的火灾保险数据中展示了估算器，这些数据显示了右尾很重的证据。