Let $d\geq 2$ be an integer. In this paper we study arithmetic properties of the sequence $(H_d(n))_{n\in\N}$, where $H_{d}(n)$ is the number of permutations in $S_{n}$ being products of pairwise disjoint cycles of a fixed length $d$. In particular we deal with periodicity modulo a given positive integer, behaviour of the $p$-adic valuations and various divisibility properties. Moreover, we introduce some related families of polynomials and study they properties. Among many results we obtain qualitative description of the $p$-adic valuation of the number $H_{d}(n)$ extending in this way earlier results of Ochiai and Ishihara, Ochiai, Takegehara and Yoshida.

中文翻译：

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关于作为成对不相交 d 循环乘积的排列数的某些性质

令 $d\geq 2$ 是一个整数。在本文中，我们研究序列 $(H_d(n))_{n\in\N}$ 的算术性质，其中 $H_{d}(n)$ 是 $S_{n}$ 中的排列数为固定长度 $d$ 的成对不相交循环的乘积。特别是我们处理周期性模一个给定的正整数，$p$-adic 估值的行为和各种可分性属性。此外，我们介绍了一些相关的多项式族并研究它们的性质。在许多结果中，我们获得了对数 $H_{d}(n)$ 的 $p$-adic 估值的定性描述，以这种方式扩展了 Ochiai 和 Ishihara、Ochiai、Takegehara 和 Yoshida 的早期结果。